1.288

Ответ:
\[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{5}<\operatorname{tg}\frac{4\pi}{9}. \]

Как рассуждать:

1. Сравним сами углы: \[ \frac{\pi}{5}=\frac{9\pi}{45},\qquad \frac{4\pi}{9}=\frac{20\pi}{45}, \] поэтому \[ \frac{\pi}{5}<\frac{4\pi}{9}. \]

2. Оба угла лежат в промежутке \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\): \[ 0<\frac{\pi}{5}<\frac{4\pi}{9}<\frac{\pi}{2}. \]

3. На промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) функция \(y=\operatorname{tg}x\) возрастает. Значит, большему углу соответствует большее значение тангенса: \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{5}<\operatorname{tg}\frac{4\pi}{9}. \]

Проверка:
\[ \operatorname{tg}36^\circ\approx0{,}73,\qquad \operatorname{tg}80^\circ\approx5{,}67, \] то есть неравенство действительно верно.