1.197(д)

Ответ: график функции
\[ y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2 \] получается из обычной косинусоиды \(y=\cos x\) сдвигом влево на \(\frac{\pi}{3}\) и вниз на 2.

Это косинусоида с периодом \(2\pi\), амплитудой \(1\), средней линией \(y=-2\). Её максимум равен \(-1\), минимум равен \(-3\).

Ключевые точки одного периода

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{6} & \frac{2\pi}{3} & \frac{7\pi}{6} & \frac{5\pi}{3}\\ \hline y & -1 & -2 & -3 & -2 & -1 \end{array} \]

То есть:

• в точке \(x=-\frac{\pi}{3}\) — максимум \(-1\);
• в точке \(x=\frac{2\pi}{3}\) — минимум \(-3\);
• в точках \(x=\frac{\pi}{6}\) и \(x=\frac{7\pi}{6}\) график пересекает среднюю линию \(y=-2\).

Дальше график повторяется через \(2\pi\).

Как рассуждать

1. Берём \(y=\cos x\).
   У неё максимум \(1\) при \(x=0\), минимум \(-1\) при \(x=\pi\).

2. Переходим к
   \[ y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right). \] Выражение \(x+\frac{\pi}{3}\) равно нулю при
   \[ x=-\frac{\pi}{3}. \] Поэтому максимум косинуса перемещается влево на \(\frac{\pi}{3}\).
   Правило: внутри скобки «плюс» — сдвиг влево, «минус» — вправо.

3. Затем вычитаем \(2\):
   \[ y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2. \] Все значения функции уменьшаются на \(2\), поэтому весь график опускается вниз на \(2\) единицы.

Проверка

При \(x=0\): \[ y=\cos\frac{\pi}{3}-2=\frac12-2=-\frac32. \] Значит, график проходит через точку \(\left(0;-\frac32\right)\), что согласуется со сдвигом.

Для построения удобно сначала провести горизонтальную прямую \(y=-2\), затем отметить найденные точки и соединить их плавной косинусоидой.