Реши уравнение по делению

Краткий ответ: \[ x_1=3,\qquad x_2=-1+\sqrt3,\qquad x_3=-1-\sqrt3. \]

Как решать делением многочлена

Идея: найти один корень, а затем разделить исходный многочлен на \(x-x_0\). Степень понизится, и останется решить квадратное уравнение.

1. Целые корни ищем среди делителей свободного члена \(6\): \[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]

2. Подставляем \(x=3\): \[ 3^3-3^2-8\cdot3+6=27-9-24+6=0. \] Значит, \(x=3\) — корень, и многочлен делится на \(x-3\).

3. Делим: \[ (x^3-x^2-8x+6):(x-3)=x^2+2x-2. \]

Коротко по шагам:

• \(x^3:x=x^2\), вычитаем \(x^2(x-3)\), остаётся \(2x^2-8x+6\);
• \(2x^2:x=2x\), вычитаем \(2x(x-3)\), остаётся \(-2x+6\);
• \(-2x:x=-2\), вычитаем \(-2(x-3)\), остаток \(0\).

Получаем: \[ x^3-x^2-8x+6=(x-3)(x^2+2x-2). \]

4. Решаем квадратное уравнение: \[ x^2+2x-2=0, \] \[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12, \] \[ x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}2=\frac{-2\pm2\sqrt3}2=-1\pm\sqrt3. \]

Проверка: \[ (x-3)(x^2+2x-2)=x^3-x^2-8x+6, \] то есть разложение верное.