Реши 56 задание с чертежом к нему, дано и решение

Кратко: да, такая прямая обязана целиком лежать в плоскости \(\alpha\).

Дано:
\(\alpha \parallel \beta\), \(A \in \alpha\), прямая \(m\) проходит через \(A\) и \(m \parallel \beta\).

Доказать:
\(m \subset \alpha\).

Чертёж-схема:

        α  ─────── c (в конце c = m) ─────── A
               ╱                         ╱
              ╱       плоскость γ       ╱
        β  ── b ───────────────────── B

Здесь \(\gamma\) — вспомогательная плоскость,
\(b=\gamma\cap\beta\), \(c=\gamma\cap\alpha\).

Доказательство:

1. Возьмём точку \(B \in \beta\). Так как \(m \parallel \beta\), прямая \(m\) не имеет общих точек с \(\beta\), значит \(B \notin m\). Через прямую \(m\) и точку \(B\) проведём плоскость \(\gamma\).

2. Плоскость \(\gamma\) пересекает \(\beta\) по некоторой прямой \(b\), причём \(B \in b\).
   Прямые \(m\) и \(b\) лежат в одной плоскости \(\gamma\). Если бы они пересекались, то точка пересечения принадлежала бы \(m\) и \(\beta\), что невозможно. Значит, \[ m \parallel b. \]

3. Плоскость \(\gamma\) пересекает \(\alpha\) по прямой \(c\), и \(A \in c\), так как \(A \in \alpha\) и \(A \in m \subset \gamma\).
   Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, поэтому линии их пересечения с плоскостью \(\gamma\) параллельны: \[ c \parallel b. \]

4. Итак, через точку \(A\) в плоскости \(\gamma\) проходят две прямые \(m\) и \(c\), обе параллельные \(b\). Но через точку в плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, \[ m = c. \]

5. А так как \(c \subset \alpha\), получаем: \[ m \subset \alpha. \]

Ч. т. д.

Идея решения: рассекаем две параллельные плоскости одной вспомогательной плоскостью \(\gamma\). Получаем параллельные «следы» \(b\) и \(c\). Прямая через \(A\), параллельная \(b\), обязана совпасть с \(c\), а \(c\) уже лежит в \(\alpha\).