как решать квадратные уравнения?
Кратко
Квадратное уравнение имеет вид
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne 0. \]
Универсальный способ — через дискриминант:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
- \(D>0\) — два разных корня;
- \(D=0\) — один корень \(x=-\dfrac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Как решать: пошагово
- Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) и выпиши \(a\), \(b\), \(c\) с их знаками.
- Вычисли \(D=b^2-4ac\).
- Если \(D\ge 0\), подставь в формулу корней. Если \(D<0\), запиши, что корней нет.
- Проверь ответ подстановкой или по теореме Виета.
Пример
\[ 2x^2-5x+2=0 \]
Здесь \(a=2,\ b=-5,\ c=2\).
\[ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9 \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4} \]
\[ x_1=\frac{8}{4}=2,\qquad x_2=\frac{2}{4}=\frac12 \]
Проверка по Виету: сумма корней \(2+\frac12=\frac52=-\frac{b}{a}\), произведение \(2\cdot\frac12=1=\frac{c}{a}\). Всё сходится.
Полезные частные случаи
- Неполное уравнение \(ax^2+bx=0\): вынеси \(x\): \(x(ax+b)=0\), значит \(x=0\) или \(x=-\frac{b}{a}\).
- Неполное уравнение \(ax^2+c=0\): перенеси \(c\) и раздели на \(a\); корни есть, только если правая часть неотрицательна.
- Приведённое уравнение \(x^2+px+q=0\): можно искать корни по Виету: \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\). Это быстро, если корни целые.
Почему формула работает
Идея — выделить полный квадрат. Разделим уравнение на \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
Дополним до квадрата:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Справа стоит \(\dfrac{D}{4a^2}\). Извлекаем корень:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a} \]
Отсюда и получается \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\). Так что дискриминант — это не «магическая формула», а величина, которая показывает, чему равен квадрат скобки.
Главное: сначала аккуратно определи \(a\), \(b\), \(c\), потом считай \(D\) — большинство ошибок возникает именно на знаках.
