Реши задание на изображении
Отмечены №126 и №127 — разберу оба.
№126
Ответ: \(BD=13\) см.
Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle BAC\):
- \(AB\) — общая сторона;
- \(\angle DAB=\angle CBA\) — по условию;
- \(\angle ABD=\angle CAB\) — это то же, что \(\angle DBA=\angle CAB\), тоже по условию.
Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, то есть
\[ \triangle ABD\cong \triangle BAC. \]
При этом соответствие вершин такое:
\[ A\leftrightarrow B,\qquad B\leftrightarrow A,\qquad D\leftrightarrow C. \]
Поэтому сторона \(BD\) соответствует стороне \(AC\). Следовательно,
\[ BD=AC=13\text{ см}. \]
№127
Кратко: \(\triangle BCD\cong \triangle B_1C_1D_1\) по стороне и двум прилежащим углам.
Доказательство
- Рассмотрим большие треугольники:
\[ \triangle ABC \quad \text{и} \quad \triangle A_1B_1C_1. \]
По условию:
\[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1. \]
Значит, по двум сторонам и углу между ними
\[ \triangle ABC\cong \triangle A_1B_1C_1. \]
Отсюда следует равенство соответствующих углов:
\[ \angle ACB=\angle A_1C_1B_1. \tag{1} \]
- Так как \(D\) лежит на стороне \(AB\), отрезок \(CD\) проходит внутри угла \(ACB\). Поэтому
\[ \angle BCD=\angle ACB-\angle ACD. \]
Аналогично:
\[ \angle B_1C_1D_1=\angle A_1C_1B_1-\angle A_1C_1D_1. \]
Но по условию
\[ \angle ACD=\angle A_1C_1D_1, \]
а из равенства (1) следует
\[ \angle ACB=\angle A_1C_1B_1. \]
Значит,
\[ \angle BCD=\angle B_1C_1D_1. \tag{2} \]
- Теперь рассмотрим маленькие треугольники:
\[ \triangle BCD \quad \text{и} \quad \triangle B_1C_1D_1. \]
Для них:
\[ BC=B_1C_1 \quad \text{по условию}, \]
\[ \angle CBD=\angle C_1B_1D_1, \]
потому что \(D\) лежит на \(AB\), \(D_1\) — на \(A_1B_1\), а \(\angle B=\angle B_1\);
и по доказанному
\[ \angle BCD=\angle B_1C_1D_1. \]
Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам:
\[ \triangle BCD\cong \triangle B_1C_1D_1. \]
Главная идея: сначала равенство больших треугольников даёт равенство угла при вершине \(C\), затем вычитанием равных углов получаем равенство углов в маленьких треугольниках. После этого применяем признак равенства треугольников.
