Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(110^\circ\)
2. \(140^\circ\)
3. \(2\) см и \(12\) см
4. \(16^\circ\) и \(74^\circ\)
5. Доказательство ниже.

1. Угол \(\angle ANB\)

Пусть \(\angle BAC=x\). В ромбе \(AB=BC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный и
\[ \angle ACB=\angle BAC=x. \] Так как \(AM\) — биссектриса, то
\[ \angle MAC=\frac{x}{2}. \] В треугольнике \(AMC\): \[ \angle AMC=180^\circ-x-\frac{x}{2}=120^\circ. \] Отсюда: \[ 180^\circ-\frac{3x}{2}=120^\circ \Rightarrow \frac{3x}{2}=60^\circ \Rightarrow x=40^\circ. \] Значит, \(\angle BAC=40^\circ\), \(\angle ABC=100^\circ\).

Теперь: \[ \angle BAN=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ, \] а диагональ \(BD\) делит \(\angle ABC\) пополам: \[ \angle ABN=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ. \] В треугольнике \(ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(110^\circ\).

2. Угол \(\angle EOD\)

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ AO=BO. \] Треугольник \(AOB\) равнобедренный, и
\[ \angle OAB=\angle CAB=50^\circ. \] Значит, \[ \angle ABO=50^\circ, \] тогда \[ \angle AOB=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ. \] Точка \(E\) — середина \(AB\), поэтому в равнобедренном треугольнике \(AOB\) медиана \(OE\) является и биссектрисой: \[ \angle EOB=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \] Лучи \(OB\) и \(OD\) противоположны, следовательно: \[ \angle EOD=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]

Ответ: \(140^\circ\).

3. Стороны прямоугольника

Пусть одна сторона \(x\), другая \(6x\). Тогда: \[ 2(x+6x)=28, \] \[ 14x=28, \] \[ x=2. \] Значит, стороны: \[ 2\text{ см} \quad \text{и} \quad 12\text{ см}. \]

Ответ: \(2\) см и \(12\) см.

4. Углы между сторонами ромба и диагоналями

Диагонали ромба делят его углы пополам и взаимно перпендикулярны.

Если угол ромба равен \(32^\circ\), то угол между стороной и диагональю: \[ \frac{32^\circ}{2}=16^\circ. \] Соседний угол ромба: \[ 180^\circ-32^\circ=148^\circ, \] его половина: \[ \frac{148^\circ}{2}=74^\circ. \] Значит, сторона образует с диагоналями углы \(16^\circ\) и \(74^\circ\). Их сумма \(90^\circ\), так как диагонали перпендикулярны.

Ответ: \(16^\circ\) и \(74^\circ\).

5. Доказательство

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому \[ AO=BO=CO=DO. \] По условию диагонали перпендикулярны: \[ AC\perp BD, \] значит, треугольники \(AOB\) и \(BOC\) прямоугольные.

Тогда: \[ AB^2=AO^2+BO^2, \] \[ BC^2=BO^2+CO^2. \] Но \(AO=BO=CO\), поэтому \[ AB^2=BC^2, \] следовательно, \[ AB=BC. \] У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, \[ AB=BC=CD=AD. \] То есть прямоугольник имеет все стороны равными, а значит, является квадратом.

Что и требовалось доказать.