какие остатки могут получиться при делении различных чисел на 5;на7;на 11;на 17

Кратко: при делении на число \(n\) возможны остатки
\[ 0,1,2,\ldots,n-1. \]

То есть:

• на \(5\): \(0,1,2,3,4\);
• на \(7\): \(0,1,2,3,4,5,6\);
• на \(11\): \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\);
• на \(17\): \(0,1,2,3,\ldots,16\).

Почему так: при делении с остатком
\[ a=bq+r, \] где \(b\) — делитель, остаток всегда удовлетворяет условию
\[ 0 \le r < b. \] Если бы остаток был равен делителю или больше, из него можно было бы выделить ещё одну целую часть делителя. Например, при делении на \(5\) остаток не может быть \(5\) или \(6\): ещё одна «пятёрка» уже поместится.

Остаток \(0\) бывает, когда число делится нацело. Например, \(20:5=4\), остаток \(0\).

Проверка примера: \(100:17=5\) и остаток \(15\), потому что
\[ 100=17\cdot5+15, \] а \(15<17\). Значит, такой остаток возможен.