Реши задание на изображении

Все углы — в радианах, \(k\in\mathbb Z\). Ниже — полные решения по номерам.

---

№1. \(\sin 3x=\dfrac12\)

\[ 3x=(-1)^k\arcsin\frac12+\pi k=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}} \]

---

№2. \(\cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\[ \frac{x}{2}=\pm\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi k=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k} \]

---

№3. \(\operatorname{ctg}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt3\)

\[ x-\frac{\pi}{4}=\operatorname{arcctg}\sqrt3+\pi k=\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+\pi k=\frac{5\pi}{12}+\pi k} \]

---

№4. \(2\cos^2x-\cos x-1=0\)

Замена \(c=\cos x\): \[ 2c^2-c-1=0,\qquad D=1+8=9,\qquad c=\frac{1\pm3}{4} \] \[ c_1=1,\qquad c_2=-\frac12 \]

• \(\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k\);
• \(\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\).

\[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

---

№5. \(3\operatorname{tg}x-2\operatorname{ctg}x=1\)

Замена \(t=\operatorname{tg}x\neq0\), \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1t\): \[ 3t-\frac{2}{t}=1\ \Big|\cdot t \qquad 3t^2-t-2=0 \] \[ D=1+24=25,\qquad t=\frac{1\pm5}{6} \] \[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac23 \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k} \]

---

№6. \(\cos\dfrac{2x}{3}+5\sin\dfrac{x}{3}=-2\)

Так как \(\cos\dfrac{2x}{3}=1-2\sin^2\dfrac{x}{3}\), при \(y=\sin\dfrac{x}{3}\): \[ 1-2y^2+5y=-2 \quad\Rightarrow\quad 2y^2-5y-3=0 \] \[ D=25+24=49,\qquad y=\frac{5\pm7}{4} \] \[ y_1=3\ (\text{невозможно}),\qquad y_2=-\frac12 \] \[ \sin\frac{x}{3}=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{3}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{2}+3\pi k \] Разделяем чётные и нечётные \(k\): \[ k=2m:\ x=-\frac{\pi}{2}+6\pi m;\qquad k=2m+1:\ x=\frac{\pi}{2}+3\pi(2m+1)=\frac{7\pi}{2}+6\pi m \] \[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k\ \text{ или }\ x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k} \]

---

№7. \(\cos 2x-3\sqrt2\cos x+3=0\)

Так как \(\cos 2x=2\cos^2x-1\), при \(c=\cos x\): \[ 2c^2-1-3\sqrt2\,c+3=0 \quad\Rightarrow\quad 2c^2-3\sqrt2\,c+2=0 \] \[ D=18-16=2,\qquad c=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{4} \] \[ c_1=\sqrt2\ (|\cos x|\le1,\ \text{не подходит}),\qquad c_2=\frac{\sqrt2}{2} \] \[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

---

№8. \(\sin x+3\cos x=0\)

Если \(\cos x=0\), то \(\sin x=\pm1\neq0\) — противоречие, значит \(\cos x\neq0\). Делим: \[ \operatorname{tg}x=-3 \] \[ \boxed{x=-\operatorname{arctg}3+\pi k} \]

---

№9. \(\sin 2x+\sin x=0\)

\[ 2\sin x\cos x+\sin x=0 \quad\Rightarrow\quad \sin x\,(2\cos x+1)=0 \]

• \(\sin x=0\Rightarrow x=\pi k\);
• \(\cos x=-\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\).

\[ \boxed{x=\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

---

№10. \(\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin 3x\)

Левую часть сворачиваем: \[ 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 3x \] Две серии: \[ 1)\ 3x=x+\frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\pi k \] \[ 2)\ 3x=\pi-x-\frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

---

№11. \(\sqrt{-\cos x}\,(2\sin x+1)=0\)

ОДЗ: \(-\cos x\ge0\Rightarrow\cos x\le0\).

1. \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) — подходит.
2. \(\sin x=-\dfrac12\Rightarrow x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k\), то есть \[ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\quad(\cos x>0\ \text{— не подходит}),\qquad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\ (\text{подходит}). \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k} \]

---

№12. \(\dfrac{2\cos x+\sqrt2}{2\sin x-\sqrt2}=0\)

Дробь равна нулю, когда числитель нулевой, а знаменатель — нет.

\[ 2\cos x+\sqrt2=0\Rightarrow\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k \] Проверяем знаменатель:

• \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\): \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) — знаменатель \(0\), отбрасываем;
• \(x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k\): \(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\neq\dfrac{\sqrt2}{2}\) — подходит.

\[ \boxed{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k} \]

---

№13. \(\sin^2 2x+\sin^2 3x=\sin^2 x+\sin^2 4x\)

Переносим и применяем \(\sin^2a-\sin^2b=\sin(a+b)\sin(a-b)\): \[ (\sin^23x-\sin^2x)+(\sin^22x-\sin^24x)=0 \] \[ \sin4x\sin2x-\sin6x\sin2x=0 \] \[ \sin2x\,(\sin4x-\sin6x)=0 \] Далее \(\sin4x-\sin6x=-2\sin x\cos5x\): \[ \sin2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2}; \] \[ \cos5x=0\Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}; \] \[ \sin x=0\Rightarrow x=\pi k\ (\text{уже входит в }\tfrac{\pi k}{2}). \] \[ \boxed{x=\frac{\pi k}{2};\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}} \]

---

№14. \(\cos^3x+\sin^4x=1\)

Пусть \(c=\cos x\), тогда \(\sin^4x=(1-c^2)^2\): \[ c^3+(1-c^2)^2=1 \] \[ c^3+1-2c^2+c^4=1 \] \[ c^4+c^3-2c^2=0 \] \[ c^2(c^2+c-2)=0\quad\Rightarrow\quad c^2(c+2)(c-1)=0 \] Корни: \(c=0\), \(c=1\), \(c=-2\) (не подходит).

• \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\);
• \(\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k\).

\[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k} \]

---

№15. \(\cos 2x+\cos 5x=-2\)

Так как \(\cos t\ge-1\), сумма двух косинусов равна \(-2\) только если оба равны \(-1\): \[ \cos2x=-1\Rightarrow 2x=(2m+1)\pi;\qquad \cos5x=-1\Rightarrow 5x=(2n+1)\pi \] Из первого \(x=\dfrac{(2m+1)\pi}{2}\), подставляем во второе: \[ 5\cdot\frac{(2m+1)\pi}{2}=(2n+1)\pi\quad\Rightarrow\quad 5(2m+1)=2(2n+1) \] Слева нечётное число, справа чётное — равенство невозможно.

\[ \boxed{\text{решений нет}} \]

---

Если в каком-то номере уравнение в кадре записано иначе (например, с другими коэффициентами), напиши номер — пересчитаю под точное условие.

Это продолжение разбора той же темы: на фото — вариант 1 листа «Техника решения тригонометрических уравнений». Условия здесь отличаются от предыдущего набора, поэтому решаю строго по изображению. Всюду \(k\in\mathbb Z\).

---

1. \(\cos 3x=\dfrac12\)

\[ 3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

\[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}} \]

---

2. \(\sin\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\[ \frac{x}{2}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{3}+\pi k \]

\[ \boxed{x=(-1)^{k+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

---

3. \(\operatorname{tg}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt3\)

\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+\pi k \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k} \]

---

4. \(2\sin^2x-\sin x-1=0\)

Пусть \(s=\sin x\):

\[ 2s^2-s-1=0 \]

\[ (2s+1)(s-1)=0 \]

Значит, \(s=-\dfrac12\) или \(s=1\).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k;\quad x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k} \]

---

5. \(3\operatorname{tg}x+2\operatorname{ctg}x=5\)

Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), \(t\ne0\). Тогда \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1t\):

\[ 3t+\frac{2}{t}=5 \]

\[ 3t^2-5t+2=0 \]

\[ (3t-2)(t-1)=0 \]

\[ t=1\quad\text{или}\quad t=\frac23 \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=\operatorname{arctg}\frac23+\pi k} \]

---

6. \(\cos\dfrac{2x}{3}-5\cos\dfrac{x}{3}-2=0\)

Пусть \(c=\cos\dfrac{x}{3}\). Так как

\[ \cos\frac{2x}{3}=2\cos^2\frac{x}{3}-1, \]

получаем:

\[ 2c^2-1-5c-2=0 \]

\[ 2c^2-5c-3=0 \]

\[ (2c+1)(c-3)=0 \]

Корень \(c=3\) невозможен, поэтому

\[ \cos\frac{x}{3}=-\frac12 \]

\[ \frac{x}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \]

\[ \boxed{x=\pm2\pi+6\pi k} \]

---

7. \(\cos2x+4\sqrt2\sin x-4=0\)

Используем \(\cos2x=1-2\sin^2x\). Пусть \(s=\sin x\):

\[ 1-2s^2+4\sqrt2s-4=0 \]

\[ 2s^2-4\sqrt2s+3=0 \]

\[ s=\frac{4\sqrt2\pm\sqrt{32-24}}{4} = \frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4} \]

Подходит только

\[ s=\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k;\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k} \]

Можно записать короче:

\[ x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

---

8. \(\cos x-3\sin x=0\)

Если \(\cos x=0\), то уравнение не выполняется, поэтому делим на \(\cos x\):

\[ 1-3\operatorname{tg}x=0 \]

\[ \operatorname{tg}x=\frac13 \]

\[ \boxed{x=\operatorname{arctg}\frac13+\pi k} \]

---

9. \(\sin2x-\cos x=0\)

\[ 2\sin x\cos x-\cos x=0 \]

\[ \cos x(2\sin x-1)=0 \]

Отсюда:

\[ \cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k \]

или

\[ \sin x=\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k} \]

---

10. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\cos x-\dfrac12\sin x=\cos3x\)

Левую часть можно свернуть:

\[ \frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \]

Получаем:

\[ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos3x \]

Отсюда две серии:

1) \[ x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi k \]

\[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \]

2. \[ x+\frac{\pi}{6}=-3x+2\pi k \]

\[ 4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \]

\[ x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

---

11. \((2\cos x-1)\sqrt{-\sin x}=0\)

Область определения:

\[ -\sin x\ge0 \quad\Rightarrow\quad \sin x\le0 \]

Произведение равно нулю:

1. \(\sqrt{-\sin x}=0\):

\[ \sin x=0 \]

\[ x=\pi k \]

2. \(2\cos x-1=0\):

\[ \cos x=\frac12 \]

Общее решение:

\[ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

Но нужно \(\sin x\le0\), поэтому подходит только

\[ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \]

\[ \boxed{x=\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k} \]

---

12. \(\dfrac{2\sin x-\sqrt2}{2\cos x+\sqrt2}=0\)

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет:

\[ 2\sin x-\sqrt2=0 \]

\[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \]

Проверяем знаменатель. При \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\):

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}, \]

поэтому

\[ 2\cos x+\sqrt2=0, \]

то есть этот корень не подходит. Остаётся:

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

---

13. \(\sin^2x+\sin^22x+\sin^23x+\sin^24x=2\)

Используем \(\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}\):

\[ 2-\frac12(\cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x)=2 \]

Значит,

\[ \cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0 \]

Группируем:

\[ (\cos2x+\cos8x)+(\cos4x+\cos6x)=0 \]

\[ 2\cos5x\cos3x+2\cos5x\cos x=0 \]

\[ 2\cos5x(\cos3x+\cos x)=0 \]

\[ 2\cos5x\cdot2\cos2x\cos x=0 \]

То есть

\[ \cos x=0 \quad\text{или}\quad \cos2x=0 \quad\text{или}\quad \cos5x=0 \]

Получаем:

\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k; \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}; \quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \]

Серия \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) уже входит в \(x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\). Поэтому окончательно:

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}} \]

---

14. \(\sin^3x+\cos^4x=1\)

Пусть \(s=\sin x\), \(\cos^2x=1-s^2\). Тогда:

\[ s^3+(1-s^2)^2=1 \]

\[ s^3+1-2s^2+s^4=1 \]

\[ s^4+s^3-2s^2=0 \]

\[ s^2(s^2+s-2)=0 \]

\[ s^2(s+2)(s-1)=0 \]

Подходят:

\[ s=0 \quad\text{или}\quad s=1 \]

\[ \sin x=0\Rightarrow x=\pi k \]

\[ \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \]

\[ \boxed{x=\pi k;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k} \]

---

15. \(\cos2x+\cos7x=2\)

Так как каждый косинус не больше \(1\), сумма может равняться \(2\) только если оба косинуса равны \(1\):

\[ \cos2x=1 \quad\text{и}\quad \cos7x=1 \]

\[ 2x=2\pi m \quad\Rightarrow\quad x=\pi m \]

\[ 7x=2\pi n \]

Подставляем \(x=\pi m\):

\[ 7\pi m=2\pi n \]

\[ 7m=2n \]

Поскольку \(7\) и \(2\) взаимно просты, \(m=2t\). Тогда:

\[ x=2\pi t \]

\[ \boxed{x=2\pi k} \]

---

Краткие ответы:

1. \(\displaystyle \pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\)
2. \(\displaystyle (-1)^{k+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi k\)
3. \(\displaystyle \frac{\pi}{12}+\pi k\)
4. \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi k;\ (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k\)
5. \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\pi k;\ \operatorname{arctg}\frac23+\pi k\)
6. \(\displaystyle \pm2\pi+6\pi k\)
7. \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\)
8. \(\displaystyle \operatorname{arctg}\frac13+\pi k\)
9. \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+\pi k;\ (-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k\)
10. \(\displaystyle \frac{\pi}{12}+\pi k;\ -\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\)
11. \(\displaystyle \pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k\)
12. \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi k\)
13. \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\)
14. \(\displaystyle \pi k;\ \frac{\pi}{2}+2\pi k\)
15. \(\displaystyle 2\pi k\)