Реши задание на изображении

Ответ: \(\alpha=15^\circ\).

Ключевые шаги

1. Все отрезки \(OA, OB, OL, OR\) — радиусы, поэтому треугольники с двумя такими сторонами равнобедренные.

2. В \(\triangle AOB\): \[ \angle ABO=3\alpha,\quad OA=OB, \] значит, \(\angle OAB=3\alpha\). Тогда \[ \angle AOB=180^\circ-6\alpha. \]

3. В \(\triangle AOL\): \[ \angle ALO=4\alpha,\quad OA=OL, \] значит, \(\angle OAL=4\alpha\). Тогда \[ \angle AOL=180^\circ-8\alpha. \]

4. Угол \(\angle BCR=\alpha\) — вписанный и опирается на дугу \(BR\). Поэтому соответствующий центральный угол \[ \angle BOR=2\alpha. \]

5. Точки \(L,O,R\) лежат на одной прямой, а \(A\) и \(B\) находятся по одну сторону от диаметра \(LR\). Значит, \[ \angle AOL+\angle AOB+\angle BOR=180^\circ. \] Подставляем: \[ (180^\circ-8\alpha)+(180^\circ-6\alpha)+2\alpha=180^\circ, \] \[ 360^\circ-12\alpha=180^\circ, \] \[ 12\alpha=180^\circ, \] \[ \alpha=15^\circ. \]

Проверка: \(4\alpha=60^\circ\), \(3\alpha=45^\circ\), \(\alpha=15^\circ\); центральные углы \(60^\circ+90^\circ+30^\circ=180^\circ\). Всё сходится.