Пример под цифрой 6

Краткий ответ для примера 6:

\[ \sqrt[3]{\frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}}} \]

имеет три значения:

\[ z_k=R\left(\cos\left(\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}\right)\right), \quad k=0,1,2, \]

где

\[ R=\sqrt[3]{\frac{\sqrt2}{6}} =\frac{1}{\sqrt[6]{2}\sqrt[3]{3}}. \]

То есть:

\[ z_0=R\left(\cos\frac{\pi}{36}+i\sin\frac{\pi}{36}\right), \]

\[ z_1=R\left(\cos\frac{25\pi}{36}+i\sin\frac{25\pi}{36}\right), \]

\[ z_2=R\left(\cos\frac{49\pi}{36}+i\sin\frac{49\pi}{36}\right). \]

В показательной форме:

\[ z_0=Re^{i\pi/36},\qquad z_1=Re^{i25\pi/36},\qquad z_2=Re^{i49\pi/36}. \]

Углы можно записать и так: \(5^\circ,\ 125^\circ,\ 245^\circ\).

Как это получается

1. Запишем числитель и знаменатель в тригонометрической форме:

\[ i-1=-1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right), \]

\[ -3+i\sqrt{27}=-3+3i\sqrt3= 6\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right). \]

2. Разделим числа: модули делятся, аргументы вычитаются:

\[ \frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}} = \frac{\sqrt2}{6} \left( \cos\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}\right) +i\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}\right) \right). \]

\[ \frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3} =\frac{9\pi}{12}-\frac{8\pi}{12} =\frac{\pi}{12}. \]

Значит,

\[ \frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}} = \frac{\sqrt2}{6}e^{i\pi/12}. \]

3. При извлечении кубического корня модуль извлекается, а аргумент делится на \(3\). Но у комплексного числа бесконечно много аргументов, отличающихся на \(2\pi k\):

\[ \arg z=\frac{\pi/12+2\pi k}{3} =\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}. \]

При \(k=0,1,2\) получаются три разные точки, а при дальнейших \(k\) значения повторяются. Поэтому кубический корень имеет ровно три значения.

Проверка

Возведём \(z_0\) в куб:

\[ z_0^3 = R^3 e^{i\cdot 3\cdot \pi/36} = \frac{\sqrt2}{6}e^{i\pi/12} = \frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}}. \]

Всё сходится.

Если нужен только главный корень, то это \(z_0\) с аргументом \(\pi/36\).