Пример под цифрой 6

Краткий ответ для № 6

В комплексных числах кубический корень имеет три значения: \[ \sqrt[3]{\frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{18}} \left( \cos\left(\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}\right) \right), \quad k=0,1,2. \]

В градусах: \[ w_k=\frac{1}{\sqrt[6]{18}}\left(\cos(5^\circ+120^\circ k)+i\sin(5^\circ+120^\circ k)\right). \]

Если нужен главный корень, то \(k=0\).

Как это получается

1. Переведём числитель и знаменатель в показательную форму: \[ i-1=-1+i=\sqrt2\,e^{3\pi i/4}, \] \[ -3+i\sqrt{27}=-3+3\sqrt3\,i=6e^{2\pi i/3}. \]

2. Разделим: \[ \frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}} = \frac{\sqrt2}{6}e^{i\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{1}{\sqrt{18}}e^{i\pi/12}. \]

3. Извлекаем кубический корень. Модуль берём в степени \(1/3\), а аргумент делим на \(3\), добавляя \(2\pi k\): \[ w_k=\frac{1}{\sqrt[6]{18}} e^{i\left(\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi k}{3}\right)}, \quad k=0,1,2. \]

4. Проверка: \[ w_k^3=\frac{1}{\sqrt{18}}e^{i\pi/12} = \frac{i-1}{-3+i\sqrt{27}}. \] Всё сходится.