Реши задание на изображении
Краткие ответы (для допустимых значений переменных):
- \(\dfrac{5py^3}{3x^6}\);
- \(\dfrac{5}{m^8n^3}\);
- \(\dfrac{42a^4}{x-y}\);
- \(\dfrac{2a-1}{12}\).
- \(\dfrac{3(a+4)}{a}\);
- \(-2\).
Тождество верно.
\(x+\dfrac5x=\pm 8\). Если дополнительно известно, что \(x>0\), то ответ \(8\); если \(x<0\), то \(-8\).
Как это получается
- При умножении сокращаем множители и степени:
\[ \frac{25x^2p}{y^3}\cdot\frac{y^6}{15x^8} =\frac{25}{15}\cdot\frac{y^6}{y^3}\cdot\frac{x^2}{x^8}\cdot p =\frac{5py^3}{3x^6}. \]
- Деление — это умножение на перевёрнутую дробь:
\[ \frac{30m^2}{n}:(6m^{10}n^2) =\frac{30m^2}{n}\cdot\frac{1}{6m^{10}n^2} =\frac{5}{m^8n^3}. \]
- Раскладываем на множители:
\[ \frac{7(x+y)}{a^4}\cdot\frac{6a^8}{(x-y)(x+y)} =\frac{42a^4}{x-y}. \]
4)
\[ \frac{4a^2-1}{4a-12}:\frac{6a+3}{a-3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{4(a-3)}\cdot\frac{a-3}{3(2a+1)} =\frac{2a-1}{12}. \]
2.1) Сначала выполняем умножение:
\[ \frac{a+2}{2a-8}\cdot\frac{96}{a^2+2a} = \frac{a+2}{2(a-4)}\cdot\frac{96}{a(a+2)} =\frac{48}{a(a-4)}. \]
Теперь вычитаем:
\[ \frac{3a}{a-4}-\frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a^2-48}{a(a-4)} = \frac{3(a-4)(a+4)}{a(a-4)} =\frac{3(a+4)}{a}. \]
2.2) Сначала приводим к общему знаменателю в скобках:
\[ \frac{a+7}{a-7}-\frac{a-7}{a+7} = \frac{(a+7)^2-(a-7)^2}{a^2-49} = \frac{28a}{a^2-49}. \]
Затем делим:
\[ \frac{28a}{a^2-49}:\frac{14a}{49-a^2} = \frac{28a}{a^2-49}\cdot\frac{49-a^2}{14a}=-2. \]
- Сначала преобразуем выражение в скобках:
\[ \frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)} = \frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2} = \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}. \]
Теперь делим:
\[ \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x^2-4)}{x^2-6} = \frac{x^2-4}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Тождество доказано. Здесь \(x\ne 0,\ \pm2,\ \pm\sqrt6\).
- Смотрите на квадрат нужного выражения:
\[ \left(x+\frac5x\right)^2 = x^2+10+\frac{25}{x^2} = 54+10=64. \]
Значит,
\[ x+\frac5x=\pm8. \]
Без условия \(x>0\) однозначно выбрать знак нельзя: если \(x\) подходит, то \(-x\) тоже подходит, а значение выражения меняет знак.
