Реши задание на изображении
Кратко: высота башни
\[
H=50(\tan45^\circ+\tan2^\circ)\approx 51{,}75\text{ м}\approx 52\text{ м}.
\]
Как рассуждать
Проведём через глаз наблюдателя горизонтальную прямую. Тогда получаются два прямоугольных треугольника, у которых горизонтальное расстояние до башни равно \(50\) м.
Вершина башни видна под углом \(45^\circ\) вверх: \[ h_1=50\tan45^\circ=50\cdot1=50\text{ м}. \]
Основание башни видно под углом \(2^\circ\) вниз: \[ h_2=50\tan2^\circ\approx50\cdot0{,}0349\approx1{,}75\text{ м}. \]
Уровень глаз наблюдателя находится между основанием и вершиной башни, поэтому высоты складываем: \[ H=h_1+h_2=50+1{,}75=51{,}75\text{ м}. \]
Округлённо: около \(52\) м.
Проверка: вершина выше уровня глаз на \(50\) м, основание ниже на \(1{,}75\) м, значит вся башня примерно \(51{,}75\) м — чуть больше \(50\) м. Это логично: при расстоянии \(50\) м и угле \(45^\circ\) верхняя часть как раз равна \(50\) м.
Обсуждение
2 сообщенияПочему мы берём tan?
Потому что угол дан между лучом зрения и горизонталью, а расстояние \(50\) м — это прилежащий катет в прямоугольном треугольнике.
В треугольнике:
- горизонтальная линия от глаза наблюдателя до башни — прилежащий катет, \(50\) м;
- вертикальный отрезок от этой линии до вершины башни — противолежащий катет, \(h\);
- угол между горизонталью и лучом зрения на вершину — \(45^\circ\).
Для острого угла прямоугольного треугольника:
\[ \tan\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}. \]
Значит,
\[ \tan45^\circ=\frac{h_1}{50}, \qquad h_1=50\tan45^\circ. \]
То есть тангенс нужен потому, что мы знаем горизонтальное расстояние и хотим найти вертикальную высоту.
Для основания башни аналогично:
\[ \tan2^\circ=\frac{h_2}{50}, \qquad h_2=50\tan2^\circ. \]
Если бы было известно расстояние по линии взгляда — гипотенуза, — тогда понадобился бы синус. А здесь известен именно прилежащий катет, поэтому используется тангенс.
