Зделай
Краткий ответ
- \(120^\circ\)
- \(\overrightarrow{AM}=\dfrac34\vec a-\vec b\), где \(\vec a=\overrightarrow{BC},\ \vec b=\overrightarrow{BA}\)
- \(\overrightarrow{BA}\) — это же \(\overrightarrow{CD}\)
- \(|\vec m|=13\)
- а) \(\cos\varphi=\dfrac{16}{65}\); б) \(x=-\dfrac32\); в) \(x=-\dfrac56\)
- \(BM=7\) см
Разбор
1. В ромбе \(AB=AD\), а по условию \(BD=AB\). Значит,
\[
AB=AD=BD,
\]
поэтому треугольник \(ABD\) — равносторонний, и \(\angle BAD=60^\circ\).
Но вектор \(\overrightarrow{BA}\) направлен противоположно \(\overrightarrow{AB}\). Поэтому угол между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равен
\[
180^\circ-60^\circ=120^\circ.
\]
2. Так как \(BM:MC=3:1\), то
\[
BM=\frac34 BC,\qquad \overrightarrow{BM}=\frac34\vec a.
\]
Кроме того, \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}=-\vec b\). Поэтому
\[
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}
=-\vec b+\frac34\vec a.
\]
Ответ:
\[
\boxed{\overrightarrow{AM}=\frac34\vec a-\vec b}
\]
3. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит
\[
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
\]
Тогда
\[
\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}
=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}
=\overrightarrow{BA}.
\]
Ответ:
\[
\boxed{\overrightarrow{BA}}
\]
(он же \(\overrightarrow{CD}\)).
4.
\[
\vec a=(2;4),\qquad \vec b=(3;-5).
\]
Тогда
\[
\vec m=-\frac12\vec a+2\vec b
=(-1;-2)+(6;-10)=(5;-12).
\]
Значит
\[
|\vec m|=\sqrt{5^2+(-12)^2}
=\sqrt{25+144}=13.
\]
Ответ:
\[
\boxed{13}
\]
5.
Дано:
\[
\vec m(-4;3),\quad \vec n(5;12),\quad \vec a(2;x).
\]
а)
\[
\cos\varphi=
\frac{\vec m\cdot\vec n}{|\vec m||\vec n|}
\]
\[
\vec m\cdot\vec n=(-4)\cdot5+3\cdot12=-20+36=16,
\]
\[
|\vec m|=\sqrt{16+9}=5,\qquad |\vec n|=\sqrt{25+144}=13.
\]
Поэтому
\[
\boxed{\cos\varphi=\frac{16}{65}}.
\]
б) Векторы \(\vec m\) и \(\vec a\) коллинеарны, значит их координаты пропорциональны:
\[
\frac{2}{-4}=\frac{x}{3}.
\]
Отсюда
\[
x=-\frac32.
\]
в) Векторы \(\vec n\) и \(\vec a\) перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю: \[ 5\cdot2+12x=0, \] \[ 10+12x=0, \] \[ x=-\frac56. \]
Ответ:
\[
\boxed{\text{а) }\frac{16}{65};\quad \text{б) }-\frac32;\quad \text{в) }-\frac56}
\]
6.
Рисунок: от вершины \(B\) откладываем лучи \(BA\) и \(BC\) под углом \(30^\circ\); \(M\) — середина \(AC\), \(BM\) — медиана.
Пусть
\[
\vec u=\overrightarrow{BA},\qquad \vec v=\overrightarrow{BC}.
\]
Так как \(M\) — середина \(AC\), то
\[
\overrightarrow{BM}=\frac{\vec u+\vec v}{2}.
\]
Значит
\[
BM=\frac12|\vec u+\vec v|.
\]
Теперь
\[
|\vec u+\vec v|^2
=|\vec u|^2+|\vec v|^2+2|\vec u||\vec v|\cos30^\circ.
\]
Подставляем:
\[
|\vec u|=4,\qquad |\vec v|=6\sqrt3,
\]
\[
|\vec u+\vec v|^2
=4^2+(6\sqrt3)^2+
2\cdot4\cdot6\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
=16+108+72=196.
\]
Отсюда
\[
|\vec u+\vec v|=\sqrt{196}=14,
\]
\[
BM=\frac{14}{2}=7.
\]
Ответ:
\[
\boxed{BM=7\text{ см}}
\]
