Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(\dfrac{5py^3}{3x^6}\)
- \(\dfrac{5}{m^8n^3}\)
- \(\dfrac{42a^4}{x-y}\)
- \(\dfrac{2a-1}{12}\)
- \(\dfrac{3(a+4)}{a}\)
- \(-2\)
Тождество верно.
\(\pm 8\); если известно, что \(x>0\), то \(8\).
Как решать
1. Действия с дробями
1)
\[
\frac{25x^2p}{y^3}\cdot\frac{y^6}{15x^8}
=\frac{25}{15}\cdot\frac{x^2}{x^8}\cdot\frac{y^6}{y^3}\cdot p
=\frac{5py^3}{3x^6}.
\]
2)
\[
\frac{30m^2}{n}:\left(6m^{10}n^2\right)
=\frac{30m^2}{n}\cdot\frac{1}{6m^{10}n^2}
=\frac{5}{m^8n^3}.
\]
3) Раскладываем на множители: \[ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \] поэтому \[ \frac{7x+7y}{a^4}\cdot\frac{6a^8}{x^2-y^2} = \frac{7(x+y)}{a^4}\cdot\frac{6a^8}{(x-y)(x+y)} = \frac{42a^4}{x-y}. \]
4)
\[
\frac{4a^2-1}{4a-12}:\frac{6a+3}{a-3}
=
\frac{(2a-1)(2a+1)}{4(a-3)}\cdot\frac{a-3}{3(2a+1)}
=
\frac{2a-1}{12}.
\]
2. Упрощение выражений
1)
\[
\frac{a+2}{2a-8}\cdot\frac{96}{a^2+2a}
=
\frac{a+2}{2(a-4)}\cdot\frac{96}{a(a+2)}
=
\frac{48}{a(a-4)}.
\]
Тогда
\[
\frac{3a}{a-4}-\frac{48}{a(a-4)}
=
\frac{3a^2-48}{a(a-4)}
=
\frac{3(a^2-16)}{a(a-4)}
=
\frac{3(a-4)(a+4)}{a(a-4)}
=
\frac{3(a+4)}{a}.
\]
2) Сначала выражение в скобках: \[ \frac{a+7}{a-7}-\frac{a-7}{a+7} = \frac{(a+7)^2-(a-7)^2}{(a-7)(a+7)} = \frac{28a}{a^2-49}. \] Теперь делим: \[ \frac{28a}{a^2-49}:\frac{14a}{49-a^2} = \frac{28a}{a^2-49}\cdot\frac{49-a^2}{14a} = -2. \]
3. Доказательство тождества
Преобразуем выражение в скобках: \[ \frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x} = \frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}. \] Общий знаменатель \(x(x+2)^2\): \[ \frac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}. \] Считаем числитель: \[ x(2x+5)-(x+3)(x+2) = 2x^2+5x-(x^2+5x+6) = x^2-6. \] Значит, \[ \left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right) = \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}. \] Осталось разделить: \[ \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x^3-4x} = \frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x^2-4)}{x^2-6}. \] Сокращаем \(x^2-6\) и \(x\), учитывая, что \(x^2-4=(x-2)(x+2)\): \[ \frac{x(x-2)(x+2)}{x(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \] Тождество доказано.
4. Нахождение значения выражения
Обозначим \[ t=x+\frac5x. \] Тогда \[ t^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac5x+\frac{25}{x^2} = x^2+10+\frac{25}{x^2}. \] По условию \(x^2+\frac{25}{x^2}=54\), поэтому \[ t^2=54+10=64. \] Отсюда \[ t=\pm 8. \]
То есть \[ x+\frac5x=\pm 8. \] Если в задаче подразумевается \(x>0\), то ответ только \(8\).
