Реши подробно

Краткий ответ: \[ \left(\frac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2}\cdot 12xy^5=27x^3y, \qquad x\ne0,\ y\ne0. \]

Пошаговое решение

1. Сначала упростим дробь. Используем правило \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\): \[ \frac{2x^{-1}}{3y^{-2}} =\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{x}\cdot y^2 =\frac{2y^2}{3x}. \] В частности, деление на \(y^{-2}\) равносильно умножению на \(y^2\).

2. Теперь возведём дробь в степень \(-2\). Отрицательная степень означает «перевернуть дробь и возвести в квадрат»: \[ \left(\frac{2y^2}{3x}\right)^{-2} = \left(\frac{3x}{2y^2}\right)^2 = \frac{9x^2}{4y^4}. \]

3. Умножим на \(12xy^5\): \[ \frac{9x^2}{4y^4}\cdot 12xy^5 = \frac{9\cdot12}{4}\cdot x^{2+1}\cdot y^{5-4} = 27x^3y. \]

Что важно запомнить

• \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\);
• при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ x^2\cdot x=x^3,\qquad \frac{y^5}{y^4}=y^{5-4}=y; \]
• при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Проверка: при \(x=1,\ y=1\) \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\cdot12=\frac94\cdot12=27, \] и по полученному ответу \(27\cdot1^3\cdot1=27\). Всё сходится.