Реши задание на изображении

На фото несколько номеров. Полностью читаются №134–137; №138 обрезан. Ниже — краткие ответы и разбор.

Кратко:

• 134: \(\triangle BOA\cong\triangle DOC\).
• 135: а) \(\triangle ACO\cong\triangle A_1C_1O_1\); б) \(\triangle BCO\cong\triangle B_1C_1O_1\).
• 136: \(\angle DOE=\angle MKN\).
• 137: \(AM=AN\), значит, \(\triangle AMN\) равнобедренный.

№134

Дано: \(O\) — середина \(AC\), поэтому \[ AO=OC. \] Также \(\angle BCO=\angle DAO\), а \(\angle BOC=\angle DOA\) как вертикальные.

Рассмотрим \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\). У них:

• \(\angle BCO=\angle DAO\);
• \(\angle BOC=\angle DOA\);
• \(OC=OA\).

Значит, \[ \triangle BOC\cong\triangle DOA \] по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда \[ BO=DO. \]

Теперь в \(\triangle BOA\) и \(\triangle DOC\):

• \(BO=DO\);
• \(AO=OC\);
• \(\angle BOA=\angle DOC\) как вертикальные.

По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BOA\cong\triangle DOC. \]

№135

Так как \(CO\) и \(C_1O_1\) — медианы, точки \(O\) и \(O_1\) — середины сторон \(AB\) и \(A_1B_1\).

Даны: \[ BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1. \] Это признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1. \] Значит, \[ AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] Поэтому половины сторон тоже равны: \[ AO=A_1O_1,\quad BO=B_1O_1. \]

а) В \(\triangle ACO\) и \(\triangle A_1C_1O_1\): \[ AC=A_1C_1,\quad AO=A_1O_1,\quad \angle A=\angle A_1. \] По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ACO\cong\triangle A_1C_1O_1. \]

б) В \(\triangle BCO\) и \(\triangle B_1C_1O_1\): \[ BC=B_1C_1,\quad BO=B_1O_1,\quad \angle B=\angle B_1. \] Снова признак по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BCO\cong\triangle B_1C_1O_1. \]

№136

Пусть углы треугольников обозначены \(D,E,F\) и \(M,N,P\).

В треугольнике \(DEF\) точка \(O\) — пересечение биссектрис углов \(D\) и \(E\). В \(\triangle DOE\): \[ \angle ODE=\frac{D}{2},\qquad \angle OED=\frac{E}{2}. \] Тогда \[ \angle DOE=180^\circ-\frac{D+E}{2}. \] Но \(D+E=180^\circ-F\), поэтому \[ \angle DOE =180^\circ-\frac{180^\circ-F}{2} =90^\circ+\frac{F}{2}. \]

Аналогично во втором треугольнике: \[ \angle MKN=90^\circ+\frac{P}{2}. \] По условию \(\angle F=\angle P\), значит, \[ \angle DOE=\angle MKN. \]

№137

Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает прямую \(MN\) в точке \(P\).

Тогда:

• \(\angle MAP=\angle NAP\), потому что \(AP\) — биссектриса;
• \(\angle APM=\angle APN=90^\circ\), потому что \(MN\perp AP\);
• \(AP\) — общая сторона.

Значит, \[ \triangle AMP\cong\triangle ANP. \] Следовательно, \[ AM=AN. \] То есть треугольник \(AMN\) равнобедренный.

№138 на фотографии обрезан — там не видно полное условие. Пришли его целиком, и я разберу.