Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ
\[x_1 = 2,\quad x_2 = 3\](То есть \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).)
Как решать: два способа
Способ 1. Теорема Виета. Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p=-5\), \(q=6\):
\[x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6.\]Подбираем два числа: \(2\) и \(3\) — их сумма \(5\), произведение \(6\). Значит, \(x_1=2\), \(x_2=3\). Подбор работает быстро, потому что корни целые, а \(6\) имеет мало делителей: \((\pm1,\pm2,\pm3,\pm6)\).
Способ 2. Дискриминант (работает всегда). Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\):
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0.\]Корней два:
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}.\] \[x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2.\]Проверка (Виет и подстановка)
Сумма: \(2+3=5\) — совпадает с \(-p=5\). Произведение: \(2\cdot3=6\) — совпадает с \(q=6\). Подстановка: \(4-10+6=0\) и \(9-15+6=0\). Всё верно.
Принцип для похожих заданий
- Уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\) с \(a\ne0\) — квадратное; сначала приведи его к такому виду (раскрой скобки, перенеси всё в одну часть).
- Если \(a=1\) и корни «угадываются» — бери Виета: ищи два числа с суммой \(-b\) и произведением \(c\). Полезное следствие: если \(c<0\), корни разного знака; если \(b\) и \(c\) положительны при \(a=1\), оба корня положительны.
- Если не подбирается или \(a\ne1\) — дискриминант: \(D=b^2-4ac\). При \(D>0\) два корня, \(D=0\) — один (кратный), \(D<0\) — действительных корней нет.
- Всегда делай проверку через сумму и произведение — это ловит ошибку за пару секунд.
Небольшое замечание: на фото видны другие выражения с переменными \(p\) и \(t\) (например, \(16p^{10}t+2p^9t^2p-13p^6t^5\)) — это отдельное задание, к данному уравнению оно не относится.
