Реши задание на изображении

Краткий ответ

Для недописанного нижнего пункта:

\[ 8^{-2}\cdot 9^3=\left(\frac32\right)^6=\frac{729}{64}=11\frac{25}{64}. \]

Если нужно завершить и верхние примеры:

\[ 10^8\cdot10^{-5}\cdot10^{-6}=10^{-3}=0{,}001; \]

\[ 3^{-4}:3=3^{-5}=\frac1{243}; \]

\[ 3^{-4}\cdot(3^{-2})^{-4}\cdot3^8=3^{-4+8+8}=3^{12}=531\,441. \]

Почему так

Используем свойства степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \]

\[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]

Разберём нижний пример:

\[ 8^{-2}\cdot9^3. \]

Сначала представим основания степенями простых чисел:

\[ 8=2^3,\qquad 9=3^2. \]

Тогда

\[ 8^{-2}=(2^3)^{-2}=2^{-6}, \]

\[ 9^3=(3^2)^3=3^6. \]

Значит,

\[ 8^{-2}\cdot9^3=2^{-6}\cdot3^6 =\frac{3^6}{2^6} =\left(\frac32\right)^6 =\frac{729}{64}. \]

Важно: у \(2^{-6}\) и \(3^6\) разные основания, поэтому показатели складывать нельзя. Но можно записать произведение дробью.

Проверка

\[ 8^{-2}=\frac1{64},\qquad 9^3=729, \]

поэтому

\[ 8^{-2}\cdot9^3=\frac1{64}\cdot729=\frac{729}{64}. \]

Верхние примеры проверяются так же: в первом складываем показатели при одинаковом основании \(10\), во втором при делении вычитаем показатель степени, в третьем сначала перемножаем показатели в скобке, затем складываем все показатели.