Реши 6 задание
Ответ: \(a=-2\).
Как понять решение
Рассмотрим левую часть неравенства:
\[ ax^2-(20+5a^2)x+100a>0. \]
При \(a\ne 0\) её можно разложить на множители:
\[ ax^2-(20+5a^2)x+100a =a\left(x-5a\right)\left(x-\frac{20}{a}\right). \]
Проверка: при раскрытии скобок получается исходный трёхчлен.
Теперь разбираем значения параметра \(a\).
Если \(a=0\), неравенство превращается в \[ -20x>0, \] то есть \(x<0\). Решения есть, значит \(a=0\) не подходит.
Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх. При достаточно больших \(|x|\) выражение положительно, поэтому решения есть всегда.
Если \(a<0\), ветви направлены вниз. Неравенство \(f(x)>0\) не имеет решений только тогда, когда вся парабола лежит не выше оси \(x\), то есть её дискриминант \[ D\le 0. \]
Считаем дискриминант:
\[ D=(20+5a^2)^2-4\cdot a\cdot 100a =25(a^2-4)^2. \]
Условие \(D\le 0\):
\[ 25(a^2-4)^2\le 0. \]
Квадрат не может быть меньше нуля, поэтому
\[ a^2-4=0, \qquad a=\pm 2. \]
Так как мы рассматриваем \(a<0\), остаётся
\[ \boxed{a=-2}. \]
Проверка. При \(a=-2\):
\[ -2x^2-40x-200=-2(x+10)^2\le 0. \]
Это выражение никогда не бывает строго больше нуля, значит исходное неравенство действительно не имеет решений.
Обсуждение
2 сообщенияРеши как будто это для 9 класса
Перепишем неравенство в виде
\[ ax^2-(20+5a^2)x+100a>0. \]
Нужно найти такие \(a\), при которых это неравенство не имеет решений.
1. Если \(a=0\)
Тогда
\[ -20x>0, \]
то есть \(x<0\). Решения есть, значит \(a=0\) не подходит.
2. Если \(a>0\)
Возьмём \(x=0\). Тогда левая часть равна
\[ 100a>0, \]
значит \(x=0\) является решением. Поэтому \(a>0\) тоже не подходит.
3. Если \(a<0\)
Тогда график — парабола ветвями вниз. Чтобы неравенство \(>0\) не имело решений, парабола не должна подниматься выше оси \(Ox\). Это будет при условии
\[ D\le 0. \]
Считаем дискриминант:
\[ D=(20+5a^2)^2-4\cdot a\cdot 100a. \]
\[ D=400+200a^2+25a^4-400a^2 =25a^4-200a^2+400 =25(a^2-4)^2. \]
Значит,
\[ 25(a^2-4)^2\le 0. \]
Квадрат не может быть меньше нуля, поэтому
\[ a^2-4=0, \]
\[ a=\pm 2. \]
Так как мы рассматриваем \(a<0\), остаётся
\[ \boxed{a=-2}. \]
Проверка. При \(a=-2\):
\[ -2x^2-40x-200=-2(x+10)^2\le 0. \]
Строго больше нуля это выражение никогда не бывает, значит решений действительно нет.
Ответ: \(a=-2\).
