Реши 4 задание как в школе

Ответ: \(4\) — наибольшее целое решение.

Решение по шагам

ОДЗ: \(x\ne 1\).

Решим неравенство: \[ \frac{4}{x-1}<x-\frac14. \] Перенесём всё влево: \[ \frac{4}{x-1}-x+\frac14<0. \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{-4x^2+5x+15}{4(x-1)}<0. \] Так как \(4>0\), знак определяет числитель и знаменатель: \[ \frac{-4x^2+5x+15}{x-1}<0. \] Найдём нули числителя: \[ -4x^2+5x+15=0 \] \[ 4x^2-5x-15=0, \] \[ D=25+240=265, \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{265}}8. \] То есть \[ x_1\approx -1{,}41,\qquad x_2\approx 2{,}66. \] Наносим на числовую прямую точки \(x_1,\ 1,\ x_2\) и расставляем знаки. Получаем: \[ x\in\left(\frac{5-\sqrt{265}}8;\,1\right)\cup \left(\frac{5+\sqrt{265}}8;\,+\infty\right). \]

Теперь учтём условие: \[ x^2<18. \] \[ -\sqrt{18}<x<\sqrt{18},\qquad \sqrt{18}\approx 4{,}24. \] Целые значения: \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\), но \(1\) не входит в ОДЗ.

Из решения неравенства подходят: \[ -1,\ 0,\ 3,\ 4. \] Наибольшее из них — \(4\).

Проверка: \[ x=4:\quad \frac{4}{4-1}=\frac43<4-\frac14=\frac{15}4, \] и \[ 4^2=16<18. \] Всё верно.