Реши задание на изображении

Краткие ответы

502. \(95\)
503. \(p=11\)
504. а) \(2,3,5\); б) \(2,3,5,13\)
505. а) \(5082=2\cdot3\cdot7\cdot11^2\); б) \(7605=3^2\cdot5\cdot13^2\)
506. \(a=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7\)
507. а) \(45\); б) \(88\)
508. а) \(5292\); б) \(4851\)
509. \(8\) чисел
510. условие обрезано — не видно само выражение.

Как решать

502. Наибольшее двузначное число — произведение двух простых

Проверяем двузначные числа с конца:

• \(99=9\cdot11\) — не подходит;
• \(98=2\cdot49\) — не подходит;
• \(97\) — простое, не произведение двух простых;
• \(96=2^5\cdot3\) — не подходит;
• \(95=5\cdot19\) — оба множителя простые.

Значит, ответ: 95.

503. Когда \(2^p-1\) перестаёт быть простым

Проверяем простые \(p\) по порядку:

\[ p=2:\ 2^2-1=3 \text{ — простое} \] \[ p=3:\ 2^3-1=7 \text{ — простое} \] \[ p=5:\ 2^5-1=31 \text{ — простое} \] \[ p=7:\ 2^7-1=127 \text{ — простое} \] \[ p=11:\ 2^{11}-1=2047=23\cdot89 \text{ — составное} \]

Поэтому наименьшее подходящее \(p=11\).

504. Простые делители суммы степеней

а)
\[ 2+2^2+2^3+2^4=2+4+8+16=30=2\cdot3\cdot5 \] Простые делители: 2, 3, 5.

б)
\[ 5+5^2+5^3+5^4=5+25+125+625=780 \] \[ 780=2^2\cdot3\cdot5\cdot13 \] Простые делители: 2, 3, 5, 13.

505. Разложение на простые множители

а)
\[ 5082:2=2541 \] \[ 2541:3=847 \] \[ 847=7\cdot121=7\cdot11^2 \] Значит: \[ 5082=2\cdot3\cdot7\cdot11^2 \]

б)
\[ 7605:5=1521 \] \[ 1521=39^2=3^2\cdot13^2 \] Значит: \[ 7605=3^2\cdot5\cdot13^2 \]

506. Разложение произведения \(1\cdot2\cdot\ldots\cdot10\)

Считаем, сколько раз каждый простой множитель встречается в числах от 1 до 10.

• Двойка: в \(2,4,6,8,10\) — всего \(1+2+1+3+1=8\) раз.
• Тройка: в \(3,6,9\) — всего \(1+1+2=4\) раза.
• Пятёрка: в \(5,10\) — \(2\) раза.
• Семёрка: только в \(7\) — \(1\) раз.

Поэтому: \[ a=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7 \]

507. НОД

а) Алгоритм Евклида: \[ 765=2\cdot315+135 \] \[ 315=2\cdot135+45 \] \[ 135=3\cdot45 \] Значит, \(\gcd(765,315)=45\).

б) \[ 1936=2\cdot792+352 \] \[ 792=2\cdot352+88 \] \[ 352=4\cdot88 \] Значит, \(\gcd(792,1936)=88\).

508. НОК

Правило: раскладываем числа на простые множители и берём каждый простой множитель в наибольшей степени.

а) \[ 294=2\cdot3\cdot7^2 \] \[ 756=2^2\cdot3^3\cdot7 \] Тогда: \[ \operatorname{lcm}(294,756)=2^2\cdot3^3\cdot7^2=5292 \]

б) \[ 693=3^2\cdot7\cdot11 \] \[ 1617=3\cdot7^2\cdot11 \] Тогда: \[ \operatorname{lcm}(693,1617)=3^2\cdot7^2\cdot11=4851 \]

509. Общие числа двух последовательностей

Первая последовательность — числа, кратные \(6\).
Вторая — числа, кратные \(8\).

Общие числа кратны: \[ \operatorname{lcm}(6,8)=24 \]

Считаем числа, кратные \(24\), не превосходящие \(200\): \[ 24,\ 48,\ 72,\ 96,\ 120,\ 144,\ 168,\ 192 \] Их 8.

510

На фотографии видно только начало задания:

«Какой цифрой оканчивается значение выражения:»

Самого выражения нет, поэтому решить его пока нельзя. Пришли полное условие — и я покажу, как найти последнюю цифру.