Решить
На фото полностью виден вариант 2, поэтому решаю его. Верхний фрагмент обрезан и относится к другому варианту.
Краткий ответ
а) центр \((-2;1)\), радиус \(2\);
б) центр \((3;0)\), радиус \(4\).а) да, точка \(K\) лежит на окружности;
б) нет, точка \(P\) не лежит на прямой.\((6;0)\) и \((0;-4)\).
\(b=-3\).
\[ (x+2)^2+(y+1)^2=25 \]
\[ x+2y+1=0 \] или \[ y=-\frac12x-\frac12 \]
\[ S=\frac1{12} \]
Решение и объяснение
1. Центр и радиус окружности
Уравнение окружности имеет вид
\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2, \]
где \((x_0;y_0)\) — центр, \(R\) — радиус.
а)
\[
(x+2)^2+(y-1)^2=4
\]
Значит, \(x_0=-2,\ y_0=1,\ R^2=4\), поэтому
\[ O(-2;1),\quad R=2. \]
Чтобы начертить: отметьте центр \((-2;1)\) и проведите окружность радиуса \(2\). Например, она проходит через точки
\((-4;1),\ (0;1),\ (-2;3),\ (-2;-1)\).
б)
\[
(x-3)^2+y^2=16
\]
Здесь \(O(3;0),\ R=4\).
Окружность проходит, например, через
\((-1;0),\ (7;0),\ (3;4),\ (3;-4)\).
2. Принадлежность точки
Нужно подставить координаты точки в уравнение. Если получается верное равенство — точка принадлежит графику.
а)
Окружность:
\[
x^2+(y-1)^2=8
\]
Точка \(K(2;-1)\):
\[
2^2+(-1-1)^2=4+4=8.
\]
Верно, значит, точка принадлежит окружности.
б)
Прямая:
\[
2x-4y+3=0
\]
Точка \(P(-3;-1)\):
\[
2(-3)-4(-1)+3=-6+4+3=1\ne0.
\]
Значит, точка не принадлежит прямой.
3. Пересечение прямой с осями координат
Прямая: \[ 2x-3y-12=0 \]
С осью \(Ox\): \(y=0\): \[ 2x-12=0,\quad x=6. \] Получаем точку \((6;0)\).
С осью \(Oy\): \(x=0\): \[ -3y-12=0,\quad y=-4. \] Получаем точку \((0;-4)\).
4. Нахождение \(b\)
Прямая \(4x+by-6=0\) проходит через \(N(3;2)\). Подставляем \(x=3,\ y=2\):
\[ 4\cdot3+b\cdot2-6=0, \] \[ 12+2b-6=0, \] \[ 2b=-6, \] \[ b=-3. \]
Проверка: \[ 4x-3y-6=0. \] При \(x=3,\ y=2\): \[ 12-6-6=0. \]
5. Уравнение окружности
Центр \(C(-2;-1)\), точка \(A(1;3)\) лежит на окружности. Радиус — расстояние от центра до точки:
\[ R^2=(1-(-2))^2+(3-(-1))^2, \] \[ R^2=3^2+4^2=9+16=25. \]
Значит: \[ (x+2)^2+(y+1)^2=25. \]
6. Уравнение прямой через две точки
Точки \(A(3;-2)\) и \(B(-1;0)\).
Угловой коэффициент: \[ k=\frac{0-(-2)}{-1-3}=\frac{2}{-4}=-\frac12. \]
Берём точку \(B(-1;0)\): \[ y-0=-\frac12(x+1), \] \[ y=-\frac12x-\frac12. \]
В общем виде: \[ x+2y+1=0. \]
Проверка:
- для \(A(3;-2)\): \(3-4+1=0\);
- для \(B(-1;0)\): \(-1+0+1=0\).
7. Площадь треугольника
Прямая через \(A(-2;-1)\) и \(B(1;1)\).
Угловой коэффициент: \[ k=\frac{1-(-1)}{1-(-2)}=\frac23. \]
Уравнение: \[ y+1=\frac23(x+2), \] \[ y=\frac23x+\frac13. \] В общем виде: \[ 2x-3y+1=0. \]
Точки пересечения с осями:
С \(Ox\): \(y=0\), \[ 2x+1=0,\quad x=-\frac12. \]
С \(Oy\): \(x=0\), \[ -3y+1=0,\quad y=\frac13. \]
Получился прямоугольный треугольник с катетами \[ \frac12 \quad\text{и}\quad \frac13. \]
Его площадь: \[ S=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac1{12}. \]
Ответ: \(\boxed{\frac1{12}}\).
