Реши задание на изображении
Кратко по пунктам
Корень уравнения — это значение переменной, при подстановке которого получается верное числовое равенство.
Проверяем \(x=7\):- \(6x=42\): \(6\cdot7=42\) — да, 7 является корнем;
- \(0x=11\): \(0\cdot7=0\ne11\) — нет;
- \((16-2\cdot8)x=0\): \(16-16=0\), поэтому \(0\cdot7=0\) — да, 7 является корнем (здесь подходит вообще любое \(x\)).
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
- \(6x=-12 \Rightarrow x=-12:6=-2\);
- \(x-2x\cdot6=0\). Сначала умножение: \(2x\cdot6=12x\), значит \(x-12x=0\), \(-11x=0\), \(x=0\);
- \(5x-4x=6+x\). Получаем \(x=6+x\), затем \(0=6\) — противоречие, корней нет.
Равносильные уравнения — уравнения, у которых совпадают множества корней (или оба не имеют корней).
Свойства:- к обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число;
- обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
- слагаемое можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком.
Примеры равносильных уравнений:
- \(5x-1=3 \Leftrightarrow 5x=4\);
- \(0{,}2x=1{,}1 \Leftrightarrow 2x=11\);
- \(3x-4x+6=0 \Leftrightarrow -x+6=0 \Leftrightarrow x=6\).
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида
\[ ax=b, \] где \(x\) — переменная, \(a\) и \(b\) — числа.
Примеры: \(2x=6\), \(-3x=9\), \(0{,}5x=4\).Для уравнения \(ax=b\):
- если \(a\ne0\), то единственный корень \(x=\dfrac{b}{a}\): \[ 3x=6 \Rightarrow x=2; \]
- если \(a=0,\ b=0\), то бесконечно много корней, потому что \(0x=0\) верно при любом \(x\);
- если \(a=0,\ b\ne0\), то корней нет, потому что \(0x=b\) невозможно, например \(0x=5\).
Главный принцип: сначала упрощаем каждую часть уравнения, затем переносим слагаемые с \(x\) в одну сторону, числа — в другую, приводим подобные и делим на коэффициент при \(x\). Если \(x\) сократился и получилось верное равенство \(0=0\), корней бесконечно много; если получилось неверное \(0=\text{число}\), корней нет.
Проверка для № 2: \(6\cdot(-2)=-12\), а \(0-2\cdot0\cdot6=0\) — всё верно.
