Реши задание на изображении

Кратко: число сочетаний \(C_n^k\) — это число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\), если порядок не важен.

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Полезные свойства:

• \(C_n^0=C_n^n=1\);
• \(C_n^1=n\);
• \(C_n^k=C_n^{\,n-k}\).

Вопросы

1. Число сочетаний — количество \(k\)-элементных наборов из \(n\)-элементного множества без учёта порядка.
2. Число сочетаний из 6 по 5 обозначается \(C_6^5\), и \(C_6^5=6\).

165

а) \(C_4^3=4\)
б) \(C_5^2=10\)
в) \(C_7^5=C_7^2=21\)
г) \(C_{11}^3=165\)
д) \(C_{12}^6=924\)
е) \(C_{12}^2=66\)

166

а) \(C_5^2=C_5^3\)
б) \(C_7^2>C_5^2\)
в) \(C_{21}^{11}>C_{20}^{11}\)
г) \(C_{12}^5=C_{12}^7\)

167

а) \(C_4^0=1\)
б) \(C_5^5=1\)
в) \(C_{23}^0=1\)
г) \(C_{34}^{34}=1\)
д) \(C_{302}^0=1\)
е) \(C_{101}^{101}=1\)

168

а) \(50\) способами;
б) \(67\) способами.

169

а) \(C_{50}^{49}=C_{50}^1=50\);
б) \(C_{65}^{64}=C_{65}^1=65\).

170

а) \(C_9^7=C_9^2=36\);
б) \(C_6^2=15\);
в) \(C_{12}^4=495\);
г) \(C_{13}^5=1287\).

171

а) \(C_{10}^6=C_{10}^4=210\);
б) \(C_{14}^6=3003\).

172

а) \(C_6^3=20\);
б) \(C_7^3=35\);
в) \(C_{10}^3=120\).

173

а) \(C_9^4=126\);
б) \(C_{10}^3=120\);
в) \(C_{10}^2=45\);
г) \(C_{10}^5=252\).

174

а) \(C_6^3=20\);
б) \(C_6^5=6\).

175

Каждый маршрут — это последовательность шагов «вправо» и «вниз». Поэтому число маршрутов равно \(C_{m+n}^m\), где \(m\) — число шагов вправо, \(n\) — вниз.

По решёткам на рисунке:

• а) \(3\) шага вправо и \(3\) вниз: \(C_6^3=20\);
• б) \(4\) шага вправо и \(3\) вниз: \(C_7^4=C_7^3=35\).

Ответ: а) 20 маршрутов; б) 35 маршрутов.