8 класс решение

Конечно. Вот в таком виде можно сразу переписать в тетрадь.

Дано:
\(ABCD\) — ромб,
\(M \in BC\),
\(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\),
\(\angle AMC=120^\circ\),
\(N=AM\cap BD\).

Найти: \(\angle ANB\).

Решение:

1. Пусть \(\angle BAD=x\).
   Диагональ \(AC\) ромба является биссектрисой угла \(A\), поэтому
   \[ \angle BAC=\frac{x}{2}. \] Так как \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), то
   \[ \angle BAM=\frac{x}{4}. \]

2. Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\), поэтому
   \[ \angle ABC=180^\circ-x. \] Точка \(M\) лежит на \(BC\), значит
   \[ \angle ABM=180^\circ-x. \]

3. Углы \(\angle AMB\) и \(\angle AMC\) смежные: \[ \angle AMB=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

4. В треугольнике \(ABM\): \[ \frac{x}{4}+(180^\circ-x)+60^\circ=180^\circ. \] Отсюда \[ x=80^\circ. \]

5. Тогда \[ \angle ABC=180^\circ-80^\circ=100^\circ. \] Диагональ \(BD\) делит угол \(B\) пополам: \[ \angle ABN=50^\circ. \]

6. Точка \(N\) лежит на \(AM\), поэтому \[ \angle BAN=\angle BAM=\frac{80^\circ}{4}=20^\circ. \]

7. В треугольнике \(ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(110^\circ\).

Да. В тетрадь можно записать так — без \(x\), через «части».

1. \(\angle AMC=120^\circ\), поэтому
   \[ \angle AMB=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

2. Обозначим \(\angle BAM\) одной частью.
   Так как \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), то
   \[ \angle BAC=2\text{ части}. \] Диагональ \(AC\) ромба делит угол \(A\) пополам, значит
   \[ \angle BAD=4\text{ части}. \] Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\), поэтому
   \[ \angle ABC=180^\circ-4\text{ части}. \] Точка \(M\) лежит на \(BC\), значит
   \[ \angle ABM=180^\circ-4\text{ части}. \]

3. В треугольнике \(ABM\): \[ \angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ. \] Подставляем: \[ 1\text{ часть}+(180^\circ-4\text{ части})+60^\circ=180^\circ. \] Тогда \[ 3\text{ части}=60^\circ, \] значит \[ 1\text{ часть}=20^\circ. \] Поэтому \[ \angle BAM=20^\circ. \]

4. Считаем угол \(ABC\): \[ \angle ABC=180^\circ-4\cdot20^\circ=100^\circ. \] Диагональ \(BD\) делит угол \(B\) ромба пополам, поэтому \[ \angle ABN=50^\circ. \]

5. Точка \(N\) лежит на \(AM\), значит \[ \angle BAN=\angle BAM=20^\circ. \]

6. В треугольнике \(ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(\angle ANB=110^\circ\).

Вот так можно оформить в тетради.

Дано:
\(ABCD\) — ромб,
\(M \in BC\),
\(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\),
\(\angle AMC=120^\circ\),
\(N=AM\cap BD\).

Найти:
\(\angle ANB\).

Решение:

1. Углы \(\angle AMB\) и \(\angle AMC\) смежные, поэтому
   \[ \angle AMB=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

2. Пусть \(\angle BAM\) равен одной части.
   Так как \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), то
   \[ \angle BAC=2\text{ части}. \] Диагональ \(AC\) ромба делит угол \(A\) пополам, значит
   \[ \angle BAD=4\text{ части}. \]

Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\), поэтому
\[ \angle ABC=180^\circ-4\text{ части}. \] Точка \(M\) лежит на \(BC\), значит
\[ \angle ABM=\angle ABC=180^\circ-4\text{ части}. \]

3. В треугольнике \(ABM\) сумма углов равна \(180^\circ\): \[ 1\text{ часть}+(180^\circ-4\text{ части})+60^\circ=180^\circ. \] Отсюда
   \[ 3\text{ части}=60^\circ, \] значит
   \[ 1\text{ часть}=20^\circ. \] Тогда
   \[ \angle BAM=20^\circ. \]

4. Найдём \(\angle ABC\): \[ \angle ABC=180^\circ-4\cdot20^\circ=100^\circ. \] Диагональ \(BD\) ромба делит угол \(B\) пополам, поэтому
   \[ \angle ABN=100^\circ:2=50^\circ. \]

5. Точка \(N\) лежит на \(AM\), значит
   \[ \angle BAN=\angle BAM=20^\circ. \]

6. В треугольнике \(ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{110^\circ}\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(M\in BC\), \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), \(\angle AMC=120^\circ\), \(N=AM\cap BD\).

Найти: \(\angle ANB\).

Решение:

1. \(\angle AMB=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

2. Пусть \(\angle BAM=1\) часть. Тогда
   \[ \angle BAC=2\text{ части},\qquad \angle BAD=4\text{ части}. \] Поэтому \[ \angle ABM=\angle ABC=180^\circ-4\text{ части}. \]

3. В \(\triangle ABM\): \[ 1\text{ часть}+(180^\circ-4\text{ части})+60^\circ=180^\circ. \] Отсюда \[ 3\text{ части}=60^\circ,\qquad 1\text{ часть}=20^\circ. \] Значит, \(\angle BAM=20^\circ\).

4. Тогда \[ \angle ABC=180^\circ-4\cdot20^\circ=100^\circ. \] Так как \(BD\) — биссектриса угла \(B\), то \[ \angle ABN=50^\circ. \]

5. \(N\) лежит на \(AM\), поэтому \[ \angle BAN=20^\circ. \]

6. В \(\triangle ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{110^\circ}\).

Можно. Вот короткое оформление без \(x\) и без «частей».

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(M\in BC\), \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\), \(\angle AMC=120^\circ\), \(N=AM\cap BD\).

Найти: \(\angle ANB\).

Решение:

1. \(\angle AMB=180^\circ-120^\circ=60^\circ\) — смежные углы.

2. \(AC\) — биссектриса \(\angle BAD\), а \(AM\) — биссектриса \(\angle BAC\). Поэтому
   \[ \angle BAD=4\angle BAM. \] Тогда \[ \angle ABC=180^\circ-\angle BAD=180^\circ-4\angle BAM. \]

3. В \(\triangle ABM\): \[ \angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ. \] Так как \(\angle ABM=\angle ABC\), то \[ \angle BAM+(180^\circ-4\angle BAM)+60^\circ=180^\circ. \] Отсюда \[ 3\angle BAM=60^\circ,\qquad \angle BAM=20^\circ. \]

4. \(\angle ABC=180^\circ-4\cdot20^\circ=100^\circ\).
   \(BD\) — биссектриса \(\angle ABC\), значит \[ \angle ABN=50^\circ. \]

5. \(N\in AM\), поэтому \[ \angle BAN=\angle BAM=20^\circ. \]

6. В \(\triangle ABN\): \[ \angle ANB=180^\circ-20^\circ-50^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{110^\circ}\).

Да. Вот рисунок-схема к задаче. Масштаб можно не соблюдать точно — важно только расположение точек.

Если рисунок не отобразился, нарисуй по шагам:

1. Нарисуй ромб \(ABCD\):
   \(A\) — внизу слева, \(B\) — внизу справа, \(C\) — сверху справа, \(D\) — сверху слева.

2. Проведи диагонали \(AC\) и \(BD\).

3. На стороне \(BC\) ближе к \(B\) отметь точку \(M\).

4. Проведи отрезок \(AM\). Точку пересечения \(AM\) и \(BD\) обозначь \(N\).

5. Рядом с точкой \(M\) отметь: \(\angle AMC=120^\circ\).

Главное на рисунке:
\[ M \in BC,\qquad N=AM\cap BD,\qquad \angle AMC=120^\circ. \]

Фото-файл я прикрепить не могу, но рисунок можно очень быстро и точно перечертить.

Начерти так:

1. Нарисуй отрезок \(AB\).
2. От точки \(A\) отложи угол \(80^\circ\) и на его стороне отметь \(AD\), причём \(AD=AB\).
3. Через \(D\) проведи прямую, параллельную \(AB\), а через \(B\) — прямую, параллельную \(AD\). Их пересечение — точка \(C\). Получился ромб \(ABCD\).
4. Проведи диагонали \(AC\) и \(BD\).
5. Из точки \(A\) проведи луч под углом \(20^\circ\) к стороне \(AB\). Его пересечение со стороной \(BC\) — точка \(M\).
6. Точку пересечения \(AM\) и \(BD\) обозначь \(N\).
7. Отметь угол \(\angle AMC=120^\circ\).

Коротко на рисунке должно быть:

\[ ABCD \text{ — ромб},\quad M\in BC,\quad N=AM\cap BD,\quad \angle AMC=120^\circ. \]

Такой рисунок будет правильным и полностью подходить к решению.

Файл-фото прикрепить не могу — такой возможности у меня нет. Вот готовый чертёж: можно сделать скриншот экрана и перерисовать/распечатать.

Если и рисунок не отобразится, напиши — дам координаты точек по клеточкам, чтобы можно было отметить их по линейке.