Реши задание на изображении
Полностью на фото видны три пункта. Краткие ответы:
- верхнее в): \(a=0\);
- нижнее в): \(x=\pm \dfrac{1}{\sqrt3}=\pm \dfrac{\sqrt3}{3}\);
- г): \(y=4\).
Общий принцип: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{P}{Q}=0 \iff P=0,\quad Q\ne0. \] Поэтому сначала раскладываем на множители, затем обязательно проверяем знаменатель.
Верхнее в)
\[
\frac{a^5-4a^4+4a^3}{a^4-16}
\]
Числитель:
\[
a^5-4a^4+4a^3=a^3(a^2-4a+4)=a^3(a-2)^2.
\]
Знаменатель:
\[
a^4-16=(a^2-4)(a^2+4)=(a-2)(a+2)(a^2+4).
\]
Знаменатель не равен нулю при \(a\ne \pm2\).
Числитель равен нулю при \(a=0\) или \(a=2\). Но \(a=2\) даёт ноль в знаменателе, поэтому не подходит.
Ответ: \(a=0\).
Нижнее в)
\[ \frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0 \] Раскладываем: \[ 6x^3+48x^2-2x-16=6x^2(x+8)-2(x+8)=(x+8)(6x^2-2). \] \[ x^2-64=(x-8)(x+8). \] Знаменатель не равен нулю при \(x\ne 8\) и \(x\ne -8\).
Приравниваем числитель к нулю:
\[
(x+8)(6x^2-2)=0.
\]
Отсюда \(x=-8\) или \(6x^2-2=0\).
\(x=-8\) не подходит, так как знаменатель тоже равен нулю.
\[ 6x^2=2,\qquad x^2=\frac13,\qquad x=\pm\frac1{\sqrt3}. \]
Ответ: \[ x=\pm\frac1{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]
г)
\[ \frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0 \] Числитель: \[ y^3-4y^2-6y+24=y^2(y-4)-6(y-4)=(y-4)(y^2-6). \] Знаменатель: \[ y^3-6y=y(y^2-6). \] Знаменатель не равен нулю при \[ y\ne0,\qquad y\ne\pm\sqrt6. \] Поэтому множитель \(y^2-6\) сокращать можно, но точки \(y=\pm\sqrt6\) всё равно надо исключить.
После сокращения: \[ \frac{y-4}{y}=0. \] Значит \(y-4=0\), то есть \[ y=4. \] При \(y=4\) знаменатель \(y^3-6y=64-24=40\ne0\), поэтому корень подходит.
Ответ: \(y=4\).
Левый верхний пункт на фото обрезан — там не хватает части условия, поэтому его решить однозначно нельзя.
