номер 95
Краткий ответ:
\[
AB=14\text{ см},\qquad BC=17\text{ см}.
\]
Решение
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\).
- \(AC=CA\) — общая сторона.
- \(BC=AD\) — по условию.
- По рисунку 53 \(\angle 1=\angle BCA\), \(\angle 2=\angle DAC\), значит, \[ \angle BCA=\angle DAC. \]
Углы \(BCA\) и \(DAC\) заключены между равными сторонами \(BC\) и \(AD\) и общей стороной \(AC\). Поэтому треугольники равны по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними:
\[ \triangle ABC\cong \triangle CDA. \]
В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Порядок букв показывает соответствие вершин:
\[ A\leftrightarrow C,\quad B\leftrightarrow D,\quad C\leftrightarrow A. \]
Следовательно,
\[ AB=CD=14\text{ см}, \] \[ BC=AD=17\text{ см}. \]
Проверка: \(BC=AD=17\) см, \(AB=CD=14\) см — все данные условия сходятся.
Обсуждение
2 сообщенияномер 97
№ 97
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\). По условию:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Доказательство
- Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\):
\[ AO=OC,\qquad BO=OD, \] а углы при вершине \(O\) равны как вертикальные: \[ \angle AOB=\angle COD. \]
Значит, по первому признаку равенства треугольников:
\[ \triangle AOB \cong \triangle COD. \]
- Из равенства этих треугольников следует:
\[ AB=CD \] и \[ \angle OAB=\angle OCD. \]
Но точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, поэтому
\[ \angle OAB=\angle BAC, \] \[ \angle OCD=\angle DCA. \]
Следовательно,
\[ \angle BAC=\angle DCA. \]
- Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\):
\[ AB=CD, \] \[ AC=CA \quad \text{— общая сторона}, \] \[ \angle BAC=\angle DCA. \]
По первому признаку равенства треугольников:
\[ \boxed{\triangle ABC \cong \triangle CDA} \]
Что и требовалось доказать.
