Реши задание на изображении

Все ответы даны для \(x\) в радианах; \(n,k\in\mathbb Z\).

Краткий ответ

1. \(x=\dfrac{(-1)^n\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}\)

2. \(x=\pm\dfrac{5\pi}{3}+4\pi n\)

3. \(x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n\)

4. \(x=2\pi n;\quad x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)

5. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=-\operatorname{arctg}\dfrac23+\pi n\)

6. \(x=-\dfrac{\pi}{2}+6\pi n;\quad x=\dfrac{7\pi}{2}+6\pi n\)

7. \(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\)

8. \(x=-\operatorname{arctg}3+\pi n\)

9. \(x=\pi n;\quad x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)

10. \(x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n;\quad x=\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{2}\)

11. \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\quad x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n\)

12. \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\)

13. \(x=\dfrac{\pi n}{2};\quad x=\dfrac{(2n+1)\pi}{10}\)

14. \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\quad x=2\pi n\)

15. Решений нет.

Как решать

1–3. Простейшие тригонометрические уравнения

Используем формулы: \[ \sin t=a \Rightarrow t=(-1)^n\arcsin a+\pi n, \] \[ \cos t=a \Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi n, \] \[ \operatorname{ctg}t=a \Rightarrow t=\operatorname{arcctg}a+\pi n. \]

1. \(3x=(-1)^n\frac\pi6+\pi n\), поэтому \(x=\frac{(-1)^n\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\).

2. \(\frac x2=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\), значит \(x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n\).

3. \(x-\frac\pi4=\frac\pi6+\pi n\), поэтому \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi n\).

4–7. Замена переменной

4. Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1;\ t=-\frac12. \] Отсюда \(x=2\pi n\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\).

5. Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\frac1t\): \[ 3t-\frac2t=1 \Rightarrow 3t^2-t-2=0. \] Корни \(t=1\), \(t=-\frac23\). Поэтому \[ x=\frac\pi4+\pi n,\quad x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi n. \]

6. Пусть \(t=\sin\frac x3\). Тогда \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2\sin^2\frac x3=1-2t^2. \] Получаем: \[ 1-2t^2+5t+2=0 \Rightarrow 2t^2-5t-3=0. \] Корни \(t=3\) — не подходит, и \(t=-\frac12\). Значит \[ \sin\frac x3=-\frac12, \] отсюда \(x=-\frac{\pi}{2}+6\pi n\) или \(x=\frac{7\pi}{2}+6\pi n\).

7. Пусть \(t=\cos x\), \(\cos2x=2t^2-1\): \[ 2t^2-1-4\sqrt2t+4=0, \] \[ 2t^2-4\sqrt2t+3=0. \] Корни \(t=\frac{\sqrt2}{2}\) и \(t=\frac{3\sqrt2}{2}\). Второй больше \(1\), поэтому не подходит. Остаётся \[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\pm\frac\pi4+2\pi n. \]

8–10. Тождества и разложение

8. Делим на \(\cos x\ne0\): \[ 3+\operatorname{tg}x=0\Rightarrow \operatorname{tg}x=-3. \] Значит \(x=-\operatorname{arctg}3+\pi n\).

9. \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \[ \sin x(2\cos x+1)=0. \] Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=-\frac12\): \[ x=\pi n,\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

10. Левая часть: \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin\left(x+\frac\pi6\right). \] Тогда \[ \sin\left(x+\frac\pi6\right)=\sin3x. \] Используем \(\sin A=\sin B\): \[ A=B+2\pi n \quad\text{или}\quad A=\pi-B+2\pi n. \] Получаем две серии: \[ x=\frac\pi{12}+\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}. \]

11–12. Важно проверить ОДЗ

11. Под корнем должно быть неотрицательно: \[ -\cos x\ge0\Rightarrow \cos x\le0. \] Уравнение распадается на: \[ 2\sin x+1=0 \quad\text{или}\quad \sqrt{-\cos x}=0. \] Из \(\sin x=-\frac12\) подходит только точка III четверти: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n. \] Корень \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\) не подходит, потому что там \(\cos x>0\). Кроме того, \[ \cos x=0\Rightarrow x=\frac\pi2+\pi n. \]

12. Знаменатель не равен нулю: \[ 2\sin x-\sqrt2\ne0\Rightarrow \sin x\ne\frac{\sqrt2}{2}. \] Числитель: \[ 2\cos x+\sqrt2=0\Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Точки \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) дают нуль в знаменателе, поэтому отбрасываются. Остаётся: \[ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n. \]

13. Разность квадратов синусов

Используем: \[ \sin^2A-\sin^2B=\sin(A+B)\sin(A-B). \] Тогда: \[ (\sin^2x-\sin^23x)+(\sin^24x-\sin^22x)=0, \] \[ -\sin4x\sin2x+\sin6x\sin2x=0, \] \[ \sin2x(\sin6x-\sin4x)=0. \] Далее \(\sin6x-\sin4x=2\sin x\cos5x\), поэтому \[ 2\sin2x\sin x\cos5x=0. \] Корень \(\sin x=0\) уже входит в \(\sin2x=0\). Значит: \[ \sin2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \] или \[ \cos5x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5} =\frac{(2n+1)\pi}{10}. \]

14. Сводим к косинусу

\[ \sin^4x=(1-\cos^2x)^2. \] Пусть \(c=\cos x\): \[ c^3+(1-c^2)^2=1, \] \[ c^4+c^3-2c^2=0, \] \[ c^2(c+2)(c-1)=0. \] Так как \(|c|\le1\), подходят только \(c=0\) и \(c=1\): \[ \cos x=0\Rightarrow x=\frac\pi2+\pi n, \] \[ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n. \]

15. Оценка значений косинуса

Так как \[ -1\le \cos2x\le1,\qquad -1\le \cos5x\le1, \] их сумма не меньше \(-2\). Равенство \(-2\) возможно только если одновременно \[ \cos2x=-1\quad\text{и}\quad \cos5x=-1. \] Но если \(\cos2x=-1\), то \(x=\frac\pi2+\pi n\), и тогда \[ \cos5x=\cos\left(\frac{5\pi}{2}+5\pi n\right)=0, \] а не \(-1\). Значит одновременного равенства нет — решений нет.

Проверка особенно важна в №7, 11, 12 и 15: там отбрасываются корни, не входящие в область допустимых значений или не достигающие нужного значения.