Решение (на русском), \(k\in\mathbb Z\)

1. \(\cos 3x=\dfrac12\)

\[ 3x=\pm\arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \] Делим на 3: \[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}} \]

2. \(\sin\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\[ \frac{x}{2}=(-1)^k\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi k =(-1)^k\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\pi k =(-1)^{k+1}\frac{\pi}{3}+\pi k \] Умножаем на 2: \[ \boxed{x=(-1)^{k+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

3. \(\operatorname{tg}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt3\)

\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+\pi k=\frac{\pi}{12}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k} \]

4. \(2\sin^2x-\sin x-1=0\)

Замена \(t=\sin x\), где \(|t|\le 1\): \[ 2t^2-t-1=0,\quad D=1+8=9,\quad t=\frac{1\pm3}{4} \] \[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac12 \]

• \(\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\);
• \(\sin x=-\dfrac12\Rightarrow x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k\).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k;\qquad x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k} \]

5. \(3\operatorname{tg}x+2\operatorname{ctg}x=5\)

ОДЗ: \(\sin x\ne0,\ \cos x\ne0\). Пусть \(t=\operatorname{tg}x\ne0\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1t\): \[ 3t+\frac2t=5\ \Big|\cdot t \] \[ 3t^2-5t+2=0,\quad D=25-24=1,\quad t=\frac{5\pm1}{6} \] \[ t_1=1,\qquad t_2=\frac23 \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\qquad x=\operatorname{arctg}\frac23+\pi k} \]

6. \(\cos\dfrac{2x}{3}-5\cos\dfrac{x}{3}-2=0\)

Пусть \(t=\cos\dfrac{x}{3}\). Тогда \(\cos\dfrac{2x}{3}=2t^2-1\): \[ 2t^2-1-5t-2=0 \] \[ 2t^2-5t-3=0,\quad D=25+24=49,\quad t=\frac{5\pm7}{4} \] \[ t_1=3\ \text{— не подходит},\qquad t_2=-\frac12 \] \[ \cos\frac{x}{3}=-\frac12\Rightarrow \frac{x}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \] \[ x=\pm2\pi+6\pi k \] То есть \(x=2\pi+6\pi k\) или \(x=-2\pi+6\pi k=4\pi+6\pi k\). \[ \boxed{x=2\pi+6\pi k;\qquad x=4\pi+6\pi k} \]

7. \(\cos 2x+4\sqrt2\sin x-4=0\)

Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), при \(t=\sin x\): \[ 1-2t^2+4\sqrt2\,t-4=0 \] \[ 2t^2-4\sqrt2\,t+3=0,\quad D=32-24=8,\quad t=\frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4} \] \[ t_1=\frac{3\sqrt2}{2}>1\ \text{— не подходит},\qquad t_2=\frac{\sqrt2}{2} \] \[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k} \]

8. \(\cos x-3\sin x=0\)

\(\cos x=0\) не является решением (иначе \(\sin x=\pm1\ne0\)), поэтому делим на \(\cos x\): \[ 1-3\operatorname{tg}x=0\Rightarrow \operatorname{tg}x=\frac13 \] \[ \boxed{x=\operatorname{arctg}\frac13+\pi k} \]

9. \(\sin 2x-\cos x=0\)

\[ 2\sin x\cos x-\cos x=0 \] \[ \cos x\,(2\sin x-1)=0 \]

• \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\);
• \(\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\qquad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k} \]

10. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\cos x-\dfrac12\sin x=\cos 3x\)

Левая часть — формула косинуса суммы: \[ \cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos 3x \] \[ 3x=\pm\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2\pi k \]

• со знаком «+»: \(2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k\);
• со знаком «−»: \(4x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}\).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\qquad x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

11. \((2\cos x-1)\sqrt{-\sin x}=0\)

ОДЗ: \(-\sin x\ge0\Rightarrow \sin x\le0\).

1. \(2\cos x-1=0\Rightarrow \cos x=\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\).
   Условию \(\sin x\le0\) удовлетворяет только \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\) (для \(x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\) имеем \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}>0\) — не подходит).

2. \(-\sin x=0\Rightarrow x=\pi k\), при этом \(\sin x=0\le0\) — подходит.

\[ \boxed{x=\pi k;\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k} \]

12. \(\dfrac{2\sin x-\sqrt2}{2\cos x+\sqrt2}=0\)

ОДЗ: \(2\cos x+\sqrt2\ne0\Rightarrow \cos x\ne-\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Числитель: \[ 2\sin x-\sqrt2=0\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt2}{2} \] \[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \] Проверяем знаменатель:

• при \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\): \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) — знаменатель равен нулю, корень отбрасываем;
• при \(x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\): \(\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}\), знаменатель \(2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\sqrt2=2\sqrt2\ne0\) — подходит.

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

13. \(\sin^2x+\sin^22x+\sin^23x+\sin^24x=2\)

По формуле \(\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}\): \[ 2-\frac12\left(\cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x\right)=2 \] \[ \cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0 \] Группируем: \[ (\cos2x+\cos8x)+(\cos4x+\cos6x)=0 \] \[ 2\cos5x\cos3x+2\cos5x\cos x=0 \] \[ 2\cos5x(\cos3x+\cos x)=0 \] \[ 2\cos5x\cdot2\cos2x\cos x=0 \] \[ 4\cos5x\cos2x\cos x=0 \] Значит:

• \(\cos5x=0\Rightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\);
• \(\cos2x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\);
• \(\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\). Эта серия уже содержится в первой, так как \(\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi}{5}\).

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5};\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}} \]

14. \(\sin^3x+\cos^4x=1\)

Пусть \(s=\sin x\). Тогда \(\cos^2x=1-s^2\), \(\cos^4x=(1-s^2)^2\): \[ s^3+(1-s^2)^2=1 \] \[ s^3+1-2s^2+s^4=1 \] \[ s^4+s^3-2s^2=0 \] \[ s^2(s^2+s-2)=0 \] \[ s^2(s-1)(s+2)=0 \]

• \(s=0\Rightarrow x=\pi k\);
• \(s=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\);
• \(s=-2\) — невозможно.

\[ \boxed{x=\pi k;\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k} \]

15. \(\cos2x+\cos7x=2\)

Каждый косинус не превосходит 1, поэтому сумма равна 2 только когда оба равны 1: \[ \cos2x=1\Rightarrow x=\pi n;\qquad \cos7x=1\Rightarrow x=\frac{2\pi m}{7} \] Приравниваем: \[ \pi n=\frac{2\pi m}{7}\Rightarrow 7n=2m\Rightarrow n=2t,\ m=7t \] Тогда \(x=2\pi t\). \[ \boxed{x=2\pi k} \]

Если какой-то шаг нужно разобрать подробнее (например, отбор корней в №11–12 или разложение в №13) — напиши номер, разберу его отдельно.