Реши задание на изображении
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(AC=8\) |
| 2 | \(AC=24\) |
| 3 | \(\cos \angle ABC=\dfrac34\) |
| 4 | \(R=10\) |
| 5 | \(R=16\) |
| 6, вариант 1 | \(\cos \angle B=\dfrac{11}{14}\) |
| 6, вариант 2 | \(AB=2\sqrt6\) |
Что здесь важно понять
Теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R. \] Против большей стороны лежит больший угол, а отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон.
Теорема косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \] где \(a\) и \(b\) — стороны, образующие угол \(\gamma\), а \(c\) — сторона напротив него.
Если известна сторона и противолежащий ей угол, радиус описанной окружности удобно искать по формуле: \[ R=\frac{a}{2\sin\alpha}. \]
Решения по шагам
1. \(AC\) лежит против угла \(B=30^\circ\), а \(BC\) — против угла \(A=45^\circ\).
\[ \frac{AC}{\sin30^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ} \]
\[ AC=8\sqrt2\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} =8\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=8. \]
2. Аналогично:
\[ \frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin30^\circ} \]
\[ AC=12\sqrt2\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} =12\sqrt2\cdot\sqrt2=24. \]
3. Угол \(B\) образован сторонами \(AB=5\) и \(BC=6\), а против него лежит \(AC=4\).
\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B \]
\[ 16=25+36-60\cos B \]
\[ 60\cos B=45,\qquad \cos B=\frac34. \]
4. Сторона \(AB\) лежит против угла \(C=45^\circ\). Значит,
\[ AB=2R\sin45^\circ. \]
\[ 10\sqrt2=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2} \]
\[ R=10. \]
5. Сторона \(AB\) лежит против угла \(C=120^\circ\).
\[ 16\sqrt3=2R\sin120^\circ \]
\[ 16\sqrt3=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2} \]
\[ R=16. \]
6, первый вариант. Угол \(B\) образован \(AB=7\) и \(BC=8\), против него лежит \(AC=5\).
\[ 5^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cos B \]
\[ 25=49+64-112\cos B \]
\[ \cos B=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}. \]
6, второй вариант. По теореме синусов:
\[ \frac{AB}{\sin45^\circ}=\frac{AC}{\sin60^\circ} \]
\[ AB=6\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =6\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =2\sqrt6. \]
Проверка
- В №3: \(25+36-2\cdot5\cdot6\cdot\frac34=16=4^2\).
- В №4: \(2\cdot10\cdot\sin45^\circ=10\sqrt2\).
- В №5: \(2\cdot16\cdot\sin120^\circ=16\sqrt3\).
- В №6, вариант 1: \(49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\frac{11}{14}=25=5^2\).
Обсуждение
4 сообщенияПомоги
Изображение не прикрепилось — я его не вижу, поэтому решать пока нечего. Пришли, пожалуйста, фото задания ещё раз (или напиши условие текстом) — и я сразу разберу его по шагам.
Ниже решения всех заданий с листа.
Краткие ответы:
- \(AC=8\)
- \(AC=24\)
- \(\cos\angle ABC=\dfrac34\)
- \(R=10\)
- \(R=16\)
- Первый вариант: \(\cos B=\dfrac{11}{14}\). Вариант после «или»: \(AB=2\sqrt6\)
1
По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin 30^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ} \] \[ AC=8\sqrt2\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=8 \]
2
\[ \frac{AC}{\sin45^\circ}=\frac{BC}{\sin30^\circ} \] \[ AC=12\sqrt2\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12}=24 \]
3
Угол \(ABC\) лежит против стороны \(AC\), поэтому используем теорему косинусов: \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B \] \[ 16=25+36-60\cos B \] \[ 60\cos B=45 \] \[ \cos B=\frac34 \]
4
Сторона \(AB\) лежит против угла \(C\). По следствию из теоремы синусов: \[ 2R=\frac{AB}{\sin C} \] \[ 2R=\frac{10\sqrt2}{\sin45^\circ} =\frac{10\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}=20 \] \[ R=10 \]
5
\[ 2R=\frac{AB}{\sin120^\circ} =\frac{16\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=32 \] \[ R=16 \]
6
На листе два варианта — «или», достаточно решить один.
Первый вариант: \(AB=7,\ BC=8,\ AC=5\).
\[ \cos B=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} \] \[ \cos B=\frac{49+64-25}{2\cdot7\cdot8} =\frac{88}{112}=\frac{11}{14} \]
Второй вариант: \(AC=6,\ \angle B=60^\circ,\ \angle C=45^\circ\). Нужно найти \(AB\), которая лежит против угла \(C\): \[ \frac{AB}{\sin45^\circ}=\frac{AC}{\sin60^\circ} \] \[ AB=6\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =6\sqrt{\frac23}=2\sqrt6 \]
Главное здесь — правильно определять, какие стороны лежат против каких углов: для заданий 1, 2, 4, 5 и второго варианта №6 работает теорема синусов, а для заданий 3 и первого варианта №6 — теорема косинусов.
