реши задачу с дано доказать доказательство
Краткий ответ (задача 3)
Дано:
Угол \(B\); на одной его стороне отложены точки \(A\) и \(K\), на другой — \(C\) и \(M\);
\(BA = BC\), \(AK = CM\).
Доказать:
\(\angle A = \angle C\), то есть \(\angle BAM = \angle BCK\).
Доказательство:
Так как \(A\) и \(K\) лежат на одной стороне угла \(B\), а \(C\) и \(M\) — на другой, то
\[ BK = BA + AK,\qquad BM = BC + CM. \] По условию \(BA = BC\) и \(AK = CM\), поэтому
\[ BK = BM. \]Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBK\):
- \(AB = CB\) — по условию;
- \(BM = BK\) — доказано в п. 1;
- \(\angle B\) — общий.
Значит, \(\triangle ABM = \triangle CBK\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Сторона \(BM\) равна стороне \(BK\), следовательно, \[ \angle BAM = \angle BCK, \] то есть \(\angle A = \angle C\).
Что и требовалось доказать.
Ключевая идея
Чтобы доказать равенство углов, мы «спрятали» их в два треугольника и доказали, что треугольники равны. Равенство больших отрезков \(BK\) и \(BM\) получилось потому, что к равным частям \(BA\) и \(BC\) прибавили равные \(AK\) и \(CM\).
Проверка
- Все равенства взяты из условия или доказаны.
- Угол \(B\) действительно заключён между сторонами \(AB\) и \(BM\) в одном треугольнике и между \(CB\) и \(BK\) в другом.
- Порядок точек на сторонах угла соответствует рисунку 112: \(B-A-K\) и \(B-C-M\).
