Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение: вы прислали условие задания, которое я просил. Ниже — решения варианта 2: для каждого номера сначала ответ, затем ключевой шаг.

1. \(\sin 3x=\dfrac12\)
   Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi k}{3}\) или \(x=\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(3x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(3x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\).

2. \(\cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
   Ответ: \(x=\pm\dfrac{5\pi}{3}+4\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(\dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\).

3. \(\operatorname{ctg}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt3\)
   Ответ: \(x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\).

4. \(2\cos^2x-\cos x-1=0\)
   Ответ: \(x=2\pi k\); \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(t=\cos x\), \(2t^2-t-1=0\), откуда \(t=1\) или \(t=-\dfrac12\).

5. \(3\operatorname{tg}x-2\operatorname{ctg}x=1\)
   Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\); \(x=-\operatorname{arctg}\dfrac23+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(t=\operatorname{tg}x\), \(3t-\dfrac2t=1\), то есть \(3t^2-t-2=0\).

6. \(\cos\dfrac{2x}{3}+5\sin\dfrac{x}{3}+2=0\)
   Ответ: \(x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{2}+3\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).
   Ход: \(y=\dfrac{x}{3}\), \(\cos2y=1-2\sin^2y\), получаем \(\sin y=-\dfrac12\).

7. \(\cos2x-4\sqrt2\cos x+4=0\)
   Ответ: \(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(\cos2x=2\cos^2x-1\), \(t=\cos x\): \(2t^2-4\sqrt2t+3=0\), подходит \(t=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

8. \(3\cos x+\sin x=0\)
   Ответ: \(x=-\operatorname{arctg}3+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: делим на \(\cos x\ne0\): \(\operatorname{tg}x=-3\).

9. \(\sin2x+\sin x=0\)
   Ответ: \(x=\pi k\); \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
   Ход: \(\sin x(2\cos x+1)=0\).

10. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x=\sin3x\)
    Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k\); \(x=\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).
    Ход: левая часть равна \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\), далее \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin3x\).

11. \((2\sin x+1)\sqrt{-\cos x}=0\)
    Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\); \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
    Ход: ОДЗ: \(\cos x\le0\). Либо \(\sqrt{-\cos x}=0\), либо \(\sin x=-\dfrac12\). Корень \(\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k\) не подходит по ОДЗ.

12. \(\dfrac{2\cos x+\sqrt2}{2\sin x-\sqrt2}=0\)
    Ответ: \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
    Ход: \(2\cos x+\sqrt2=0\), то есть \(\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\). Корень \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\) отпадает, так как при нём знаменатель равен нулю.

13. \(\sin^2x-\sin^22x-\sin^23x+\sin^24x=0\)
    Ответ: \(x=\dfrac{\pi k}{2}\); \(x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\), \(k\in\mathbb Z\).
    Ход: группируем: \[ (\sin^2x-\sin^23x)+(\sin^24x-\sin^22x) =\sin2x(\sin6x-\sin4x)=0. \] Далее \(\sin6x-\sin4x=2\sin x\cos5x\).

14. \(\cos^3x+\sin^4x=1\)
    Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\); \(x=2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).
    Ход: \(\sin^4x=(1-\cos^2x)^2\), \(t=\cos x\): \[ t^3+(1-t^2)^2=1 \Rightarrow t^2(t^2+t-2)=0, \] откуда \(t=0\) или \(t=1\).

15. \(\cos2x+\cos5x=-2\)
    Ответ: нет решений.
    Ход: каждое слагаемое не меньше \(-1\), поэтому сумма равна \(-2\) только при \(\cos2x=-1\) и \(\cos5x=-1\). Но если \(\cos2x=-1\), то \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), а тогда \(\cos5x=0\), а не \(-1\).