Реши задание на изображении

Хорошо. Ниже — решения по-русски, по номерам как на изображении. Всюду \(n\in\mathbb Z\); в уравнениях с тангенсом, котангенсом и корнем учитываем ОДЗ.

1. \(\sin 3x=\dfrac12\)
   \[ 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \quad\Rightarrow\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}. \]

2. \(\cos\dfrac{x}{2}=\cos\dfrac{5\pi}{6}\)
   \[ \frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n. \]

3. \(\operatorname{tg}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt3}\)
   \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n. \]

4. \(2\cos^2x-\cos x-1=0\)
   Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-t-1=0,\quad t=1,\ -\frac12. \] Значит: \[ x=2\pi n;\qquad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

5. \(3\operatorname{tg}x-2\operatorname{ctg}x=1\)
   Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), \(\operatorname{ctg}x=\frac1t\): \[ 3t-\frac2t=1 \quad\Rightarrow\quad 3t^2-t-2=0, \] \[ t=1\quad\text{или}\quad t=-\frac23. \] Ответ: \[ x=\frac{\pi}{4}+\pi n;\qquad x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi n. \]

6. \(\cos\dfrac{2x}{3}+5\sin\dfrac{x}{3}+2=0\)
   Пусть \(s=\sin\dfrac{x}{3}\), тогда \(\cos\dfrac{2x}{3}=1-2s^2\): \[ 2s^2-5s-3=0, \] \[ s=3\ \text{— не подходит},\qquad s=-\frac12. \] Следовательно: \[ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{2}+3\pi n. \] Это то же самое, что \[ x=-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\qquad x=\frac{7\pi}{2}+6\pi n. \]

7. \(2\cos^2x-4\sqrt2\cos x+3=0\)
   Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-4\sqrt2\,t+3=0, \] \[ t=\frac{3\sqrt2}{2}\ \text{— не подходит, так как }>1, \qquad t=\frac{\sqrt2}{2}. \] Ответ: \[ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n. \]

8. \(3\cos x+\sin x=0\)
   Делим на \(\cos x\ne0\): \[ 3+\operatorname{tg}x=0 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=-3. \] \[ x=-\operatorname{arctg}3+\pi n. \]

9. \(\sin2x+\sin x=0\)
   \[ \sin x(2\cos x+1)=0. \] Отсюда: \[ \sin x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pi n; \] \[ \cos x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n. \]

10. \(\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin3x\)
    Делим на \(2\): \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x. \] Два случая: \[ x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi n; \] \[ x+\frac{\pi}{6}=\pi-3x+2\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}. \]

11. \(\sqrt{-\cos x}\,(2\sin x+1)=0\)
    ОДЗ: \(\cos x\le0\).
    \[ \cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n; \] \[ \sin x=-\frac12. \] Подходит только III четверть: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n. \] Корень \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\) отбрасываем, потому что там \(\cos x>0\).

12. После преобразований получаем \[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Значит: \[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n. \] Первый корень не подходит по ОДЗ: знаменатель обращается в нуль. Поэтому: \[ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n. \]

13. \(\sin^2x-\sin^22x-\sin^23x+\sin^24x=0\)
    Левая часть раскладывается: \[ 2\sin x\sin2x\cos5x=0. \] Отсюда: \[ \sin2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi n}{2}; \] \[ \cos5x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}. \] Ответ: \[ x=\frac{\pi n}{2};\qquad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}. \]

14. \(\cos^3x+\sin^4x=1\)
    Пусть \(c=\cos x\). Тогда \(\sin^4x=(1-c^2)^2\): \[ c^3+(1-c^2)^2=1, \] \[ c^2(c+2)(c-1)=0. \] Подходят только \(c=0\) и \(c=1\). Поэтому: \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\qquad x=2\pi n. \]

15. \(\cos2x+\cos5x=-2\)
    Так как каждый косинус не меньше \(-1\), сумма \(-2\) возможна только при \[ \cos2x=-1,\qquad \cos5x=-1. \] Но если \(\cos2x=-1\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), и тогда \[ \cos5x=\cos\left(\frac{5\pi}{2}+5\pi n\right)=0, \] а не \(-1\). Значит, \[ \text{корней нет.} \]

Ответы можно записывать и в других эквивалентных формах — важны период и соблюдение ОДЗ.