реши производную

Ответ:
\[ y'=\frac{x^2-3}{2x^2}, \qquad x\ne 0. \]

Как это получить

\[ y=\frac{x^2+3}{2x} \]

Применим правило производной дроби:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \]

Здесь:

\[ u=x^2+3,\qquad u'=2x, \] \[ v=2x,\qquad v'=2. \]

Подставляем:

\[ y'=\frac{2x\cdot 2x-(x^2+3)\cdot 2}{(2x)^2} \]

\[ y'=\frac{4x^2-2x^2-6}{4x^2} =\frac{2x^2-6}{4x^2} =\frac{x^2-3}{2x^2}. \]

Проверка другим способом

Разделим почленно:

\[ y=\frac{x^2}{2x}+\frac{3}{2x} =\frac{x}{2}+\frac{3}{2x}. \]

Тогда:

\[ y'=\frac12-\frac{3}{2x^2} =\frac{x^2-3}{2x^2}. \]

Результат совпал. Область определения: \(x\ne 0\), так как на ноль делить нельзя.