Реши задание на изображении

Во всех ответах \(n\in\mathbb Z\); углы — в радианах.

Краткие ответы

1. \(x=(-1)^n\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}\)
2. \(x=\pm\dfrac{5\pi}{3}+4\pi n\)
3. \(x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n\)
4. \(x=2\pi n\) или \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)
5. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) или \(x=-\operatorname{arctg}\dfrac23+\pi n\)
6. \(x=-\dfrac{\pi}{2}+6\pi n\) или \(x=\dfrac{7\pi}{2}+6\pi n\)
7. \(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\)
8. \(x=-\operatorname{arctg}3+\pi n\)
9. \(x=\pi n\) или \(x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\)
10. \(x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\) или \(x=\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{2}\)
11. \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\) или \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n\)
12. \(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\)
13. \(x=\dfrac{\pi n}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi n}{5}\)
14. \(x=2\pi n\) или \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\)
15. Решений нет: \(\varnothing\)

Ключевые шаги

1. \(\sin3x=\frac12\):
   \(3x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\) или \(3x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\). После деления на \(3\) получаем ответ.

2. \(\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\):
   \(\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\), умножаем на \(2\).

3. \(\operatorname{ctg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt3\):
   \(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+\pi n\), так как период котангенса равен \(\pi\).

4. Обозначим \(t=\cos x\):
   \(2t^2-t-1=0\), то есть \(t=1\) или \(t=-\frac12\).

5. Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\frac1t\):
   \(3t-\frac2t=1\Rightarrow 3t^2-t-2=0\).
   Корни: \(t=1\), \(t=-\frac23\).

6. Пусть \(s=\sin\frac{x}{3}\), тогда
   \(\cos\frac{2x}{3}=1-2s^2\).
   Получаем \(2s^2-5s-3=0\), откуда \(s=-\frac12\) (\(s=3\) не подходит).

7. \(t=\cos x\), \(\cos2x=2t^2-1\):
   \(2t^2-4\sqrt2\,t+3=0\).
   Подходит только \(t=\frac{\sqrt2}{2}\), так как \(\frac{3\sqrt2}{2}>1\).

8. \(3\cos x+\sin x=0\). При \(\cos x=0\) решения нет, поэтому делим на \(\cos x\):
   \(3+\operatorname{tg}x=0\).

9. \(\sin2x+\sin x=\sin x(2\cos x+1)=0\).

10. \(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\).
    Далее \(\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x\): \[ x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi n \quad\text{или}\quad x+\frac{\pi}{6}=\pi-3x+2\pi n. \]

11. ОДЗ: \(-\cos x\ge0\), то есть \(\cos x\le0\).
    Нуль дают \(\cos x=0\) или \(2\sin x+1=0\).
    Из \(\sin x=-\frac12\) в ОДЗ попадает только \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\).

12. Числитель равен нулю при \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\).
    Знаменатель \(2\sin x-\sqrt2\ne0\). Поэтому серия \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\) исключается.

13. Группируем: \[ \sin^2x-\sin^23x+\sin^24x-\sin^22x =2\sin x\sin2x\cos5x. \] Каждый множитель приравниваем к нулю.

14. Пусть \(c=\cos x\), тогда \(\sin^4x=(1-c^2)^2\): \[ c^3+(1-c^2)^2=1 \Rightarrow c^2(c-1)(c+2)=0. \] Так как \(c\in[-1;1]\), подходят \(c=0\) и \(c=1\).

15. Каждый косинус не меньше \(-1\), поэтому сумма равна \(-2\) только если оба косинуса равны \(-1\).
    Но \(\cos2x=-1\) даёт \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), а тогда \(\cos5x=0\), а не \(-1\). Значит, решений нет.

Проверка принципиальных мест: в №6 отброшен \(s=3\); в №7 — корень больше \(1\); в №11 и №12 учтена ОДЗ; в №15 использована ограниченность косинуса.