Реши задание на изображении

Вот решение на русском. Везде \(k\in\mathbb Z\).

№	Ответ
1	\(x=(-1)^k\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi k}{3}\)
2	\(x=\pm\dfrac{5\pi}{3}+4\pi k\)
3	\(x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k\)
4	\(x=2\pi k;\quad x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\)
5	\(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=-\operatorname{arctg}\dfrac23+\pi k\)
6	\(x=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{2}+3\pi k\)
7	\(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\)
8	\(x=-\operatorname{arctg}3+\pi k\)
9	\(x=\pi k;\quad x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k\)
10	\(x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{2}\)
11	\(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k\)
12	\(x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k\)
13	\(x=\dfrac{\pi k}{2};\quad x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\)
14	\(x=2\pi k;\quad x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\)
15	решений нет

Краткие пояснения

1–3. Простейшие тригонометрические уравнения.
Используем формулы: \[ \sin t=a \Rightarrow t=(-1)^k\arcsin a+\pi k, \] \[ \cos t=a \Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi k, \] \[ \operatorname{ctg}t=a \Rightarrow t=\operatorname{arcctg}a+\pi k. \] Например, в №1 сначала решаем относительно \(3x\), затем делим на \(3\).

4, 5, 7, 12, 14. Замена переменной.

• №4: пусть \(t=\cos x\). Тогда \[ 2t^2-t-1=0, \] откуда \(t=1\) или \(t=-\dfrac12\).

• №5: пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1t\). Получаем \[ 3t-\dfrac2t=1 \Rightarrow 3t^2-t-2=0. \]

• №7: используем формулу \[ \cos2x=2\cos^2x-1. \] Получаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Корень, больший \(1\), отбрасываем.

• №12: числитель должен быть равен нулю, поэтому \[ \cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}. \] Но нужно учесть ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в нуль. Поэтому корень \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\) не подходит.

• №14: так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), получаем \[ \cos^3x+(1-\cos^2x)^2=1. \] После упрощения: \[ \cos^2x(\cos x-1)(\cos x+2)=0. \] Подходят \(\cos x=0\) и \(\cos x=1\).

6. Используем формулу \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{3}. \] Пусть \(t=\sin\dfrac{x}{3}\). Корень \(t=3\) невозможен, остаётся \[ t=-\dfrac12. \]

8–11, 13. Тождества и разложение на множители.

• №8: делим на \(\cos x\ne0\), получаем \[ \operatorname{tg}x=-3. \]

• №9: используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\), тогда \[ \sin x(2\cos x+1)=0. \]

• №10: левая часть сворачивается по формуле: \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \] Далее решаем \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x. \]

• №11: сначала учитываем ОДЗ: \[ -\cos x\ge0 \Rightarrow \cos x\le0. \] Затем из уравнения получаем \[ 2\sin x+1=0 \quad \text{или}\quad \cos x=0. \] Корень \(\sin x=-\dfrac12\) с положительным косинусом отбрасываем по ОДЗ.

• №13: используем формулу \[ \sin^2a-\sin^2b=\sin(a+b)\sin(a-b). \] Получаем \[ \sin x(\sin7x-\sin3x)=0, \] а затем \[ \sin7x-\sin3x=2\cos5x\sin2x. \]

15. Каждый косинус не меньше \(-1\), поэтому сумма двух косинусов может быть равна \(-2\), только если одновременно \[ \cos2x=-1 \quad \text{и}\quad \cos5x=-1. \] Но если \(\cos2x=-1\), то \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \] и тогда \(\cos5x=0\), а не \(-1\). Значит, решений нет.

Везде \(k\in\mathbb Z\).

1) \(\sin 3x=\dfrac12\)

\[ 3x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}} \]

2) \(\cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\[ \frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k} \]

3) \(\operatorname{ctg}x=2-\sqrt3\)

Так как \(2-\sqrt3=\operatorname{ctg}\dfrac{5\pi}{12}\), то \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{12}+\pi k} \]

4) \(2\cos^2x-\cos x-1=0\)

Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-t-1=0 \] \[ t=1,\qquad t=-\frac12 \] Значит: \[ \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k \] \[ \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \] \[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

5) \(3\operatorname{tg}x-2\operatorname{ctg}x=1\)

Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\dfrac1t\), \(t\ne0\): \[ 3t-\frac{2}{t}=1 \] \[ 3t^2-t-2=0 \] \[ t=1,\qquad t=-\frac23 \] Отсюда: \[ \operatorname{tg}x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k \] \[ \operatorname{tg}x=-\frac23 \Rightarrow x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k} \]

6) \(\cos\dfrac{2x}{3}+5\sin\dfrac{x}{3}+2=0\)

Пусть \(t=\sin\dfrac{x}{3}\). Тогда \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{3}=1-2t^2 \] Получаем: \[ 1-2t^2+5t+2=0 \] \[ 2t^2-5t-3=0 \] \[ t=3\quad\text{или}\quad t=-\frac12 \] Корень \(t=3\) невозможен. Значит: \[ \sin\frac{x}{3}=-\frac12 \] \[ \frac{x}{3}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{2}+3\pi k} \]

7) \(\cos2x-3\sqrt2\cos x+3=0\)

Используем \(\cos2x=2\cos^2x-1\). Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-1-3\sqrt2t+3=0 \] \[ 2t^2-3\sqrt2t+2=0 \] \[ t=\sqrt2\quad\text{или}\quad t=\frac{\sqrt2}{2} \] Корень \(t=\sqrt2>1\) не подходит. Остаётся: \[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} \] \[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

8) \(\sin x+3\cos x=0\)

Делим на \(\cos x\ne0\): \[ \operatorname{tg}x+3=0 \] \[ \operatorname{tg}x=-3 \] \[ \boxed{x=-\operatorname{arctg}3+\pi k} \]

9) \(\sin2x+\sin x=0\)

\[ 2\sin x\cos x+\sin x=0 \] \[ \sin x(2\cos x+1)=0 \] Отсюда: \[ \sin x=0 \Rightarrow x=\pi k \] \[ 2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12 \] \[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

10) \(\sqrt3\sin x+\cos x=2\sin3x\)

Делим на \(2\): \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin3x \] \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x \] Получаем два случая:

1. \[ 3x=x+\frac{\pi}{6}+2\pi k \] \[ 2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \]

2. \[ 3x=\pi-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2\pi k \] \[ 3x=\frac{5\pi}{6}-x+2\pi k \] \[ 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \] \[ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

11) \((2\sin x+1)\sqrt{-\cos x}=0\)

ОДЗ: \[ -\cos x\ge0 \Rightarrow \cos x\le0 \] Произведение равно нулю, значит: \[ 2\sin x+1=0\quad\text{или}\quad \cos x=0 \]

1. \[ \sin x=-\frac12 \] Подходят только решения с \(\cos x\le0\): \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k \]

2. \[ \cos x=0 \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k} \]

12) \(\dfrac{2\cos x+\sqrt2}{\sin x+\cos x}=0\)

ОДЗ: \[ \sin x+\cos x\ne0 \] Числитель равен нулю: \[ 2\cos x+\sqrt2=0 \] \[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2} \] \[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \] Но при \(x=\frac{3\pi}{4}\): \[ \sin\frac{3\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4}=0 \] значит, этот корень не подходит. Остаётся: \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k} \]

13) \(\sin^24x+\sin^2x=\sin^23x+\sin^22x\)

Перенесём: \[ (\sin^24x-\sin^23x)-(\sin^22x-\sin^2x)=0 \] Используем формулу \[ \sin^2a-\sin^2b=\sin(a+b)\sin(a-b): \] \[ \sin7x\sin x-\sin3x\sin x=0 \] \[ \sin x(\sin7x-\sin3x)=0 \] Далее решаем \(\sin7x=\sin3x\): \[ 7x=3x+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \] или \[ 7x=\pi-3x+2\pi k \Rightarrow 10x=\pi+2\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \] \[ \boxed{x=\frac{\pi k}{2};\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}} \]

14) \(\cos^3x+\sin^4x=1\)

Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), пусть \(t=\cos x\): \[ t^3+(1-t^2)^2=1 \] \[ t^3+1-2t^2+t^4=1 \] \[ t^4+t^3-2t^2=0 \] \[ t^2(t^2+t-2)=0 \] \[ t^2(t-1)(t+2)=0 \] Корень \(t=-2\) невозможен. Значит: \[ t=0\quad\text{или}\quad t=1 \] То есть: \[ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k \] \[ \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k \] \[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k} \]

15) \(\cos2x+\cos5x=-2\)

Каждый косинус не меньше \(-1\). Сумма равна \(-2\) только при одновременном выполнении: \[ \cos2x=-1,\qquad \cos5x=-1 \] Из \(\cos2x=-1\): \[ 2x=\pi+2\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \] Тогда \[ 5x=\frac{5\pi}{2}+5\pi k \] и \[ \cos5x=\cos\frac{5\pi}{2}=0 \] а не \(-1\). Значит, одновременное выполнение невозможно.

\[ \boxed{\text{решений нет}} \]

Итоговые ответы: \[ \begin{aligned} 1.&\ (-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3};\\ 2.&\ \pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k;\\ 3.&\ \frac{5\pi}{12}+\pi k;\\ 4.&\ 2\pi k;\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\\ 5.&\ \frac{\pi}{4}+\pi k;\ -\operatorname{arctg}\frac23+\pi k;\\ 6.&\ (-1)^{k+1}\frac{\pi}{2}+3\pi k;\\ 7.&\ \pm\frac{\pi}{4}+2\pi k;\\ 8.&\ -\operatorname{arctg}3+\pi k;\\ 9.&\ \pi k;\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\\ 10.&\ \frac{\pi}{12}+\pi k;\ \frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2};\\ 11.&\ \frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k;\\ 12.&\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k;\\ 13.&\ \frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5};\\ 14.&\ 2\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k;\\ 15.&\ \text{решений нет}. \end{aligned} \] Все ответы даны при \(k\in\mathbb Z\).

Ниже подробное решение по номерам. Везде \(k\in\mathbb Z\).

№1

\[ \sin 3x=\frac12 \] \[ 3x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}} \]

№2

\[ \cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \] \[ \frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k \] Умножаем на \(2\): \[ \boxed{x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k} \]

№3

\[ \operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1 \] \[ x+\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{5\pi}{12}+\pi k} \]

№4

\[ 2\cos^2x-\cos x-1=0 \] Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-t-1=0,\quad D=1+8=9 \] \[ t=\frac{1\pm3}{4} \] Значит, \(t=1\) или \(t=-\frac12\).

1. \(\cos x=1\): \[ x=2\pi k \]

2. \(\cos x=-\frac12\): \[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \]

\[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

№5

\[ 3\operatorname{tg}x-2\operatorname{ctg}x=1 \] Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\frac1t\), \(t\ne0\): \[ 3t-\frac{2}{t}=1 \] \[ 3t^2-t-2=0 \] \[ D=1+24=25 \] \[ t=\frac{1\pm5}{6} \] То есть \(t=1\) или \(t=-\frac23\).

1. \(\operatorname{tg}x=1\): \[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k \]

2. \(\operatorname{tg}x=-\frac23\): \[ x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k \]

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi k;\quad x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k} \]

№6

\[ \cos\frac{2x}{3}+5\sin\frac{x}{3}+2=0 \] Пусть \(t=\sin\frac{x}{3}\). Тогда \[ \cos\frac{2x}{3}=1-2t^2 \] Получаем: \[ 1-2t^2+5t+2=0 \] \[ -2t^2+5t+3=0 \] \[ 2t^2-5t-3=0 \] \[ D=25+24=49 \] \[ t=\frac{5\pm7}{4} \] \[ t=3 \quad\text{или}\quad t=-\frac12 \] Так как \(|\sin|\le1\), \(t=3\) не подходит.

\[ \sin\frac{x}{3}=-\frac12 \] \[ \frac{x}{3}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k \] \[ \boxed{x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{2}+3\pi k} \]

№7

\[ \cos2x-3\sqrt2\cos x+3=0 \] Используем \(\cos2x=2\cos^2x-1\). Пусть \(t=\cos x\): \[ 2t^2-1-3\sqrt2t+3=0 \] \[ 2t^2-3\sqrt2t+2=0 \] \[ D=18-16=2 \] \[ t=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{4} \] \[ t=\sqrt2\quad\text{или}\quad t=\frac{\sqrt2}{2} \] Корень \(t=\sqrt2>1\) не подходит.

\[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2} \] \[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k} \]

№8

\[ \sin x+3\cos x=0 \] При \(\cos x=0\) получили бы \(\sin x=0\), что невозможно, поэтому делим на \(\cos x\): \[ \operatorname{tg}x+3=0 \] \[ \operatorname{tg}x=-3 \] \[ \boxed{x=-\operatorname{arctg}3+\pi k} \]

№9

\[ \sin2x+\sin x=0 \] \[ 2\sin x\cos x+\sin x=0 \] \[ \sin x(2\cos x+1)=0 \] 1) \[ \sin x=0\Rightarrow x=\pi k \] 2) \[ 2\cos x+1=0 \] \[ \cos x=-\frac12 \] \[ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k} \]

№10

\[ \sqrt3\sin x+\cos x=2\sin3x \] Поделим на \(2\): \[ \frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=\sin3x \] \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin3x \] Значит: \[ x+\frac{\pi}{6}=3x+2\pi k \] или \[ x+\frac{\pi}{6}=\pi-3x+2\pi k \] В первом случае: \[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \] Во втором: \[ 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \] \[ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\pi k;\quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}} \]

№11

\[ \sqrt{-\cos x}(2\sin x+1)=0 \] ОДЗ: \[ -\cos x\ge0\Rightarrow \cos x\le0 \] Произведение равно нулю:

1. \[ -\cos x=0\Rightarrow \cos x=0 \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \]

2. \[ 2\sin x+1=0 \] \[ \sin x=-\frac12 \] С учётом \(\cos x\le0\) подходит только третья четверть: \[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k} \]

№12

\[ \frac{2\cos x+\sqrt2}{\sin x+\cos x}=0 \] ОДЗ: \[ \sin x+\cos x\ne0 \] Числитель: \[ 2\cos x+\sqrt2=0 \] \[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2} \] \[ x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k \] То есть \[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \] Корень \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\) не подходит, так как тогда \(\sin x+\cos x=0\).

\[ \boxed{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k} \]

№13

\[ \sin^2 4x-\sin^2 3x=\sin x\sin3x \] Используем: \[ \sin^2a-\sin^2b=\sin(a+b)\sin(a-b) \] Тогда: \[ \sin^2 4x-\sin^2 3x=\sin7x\sin x \] Уравнение принимает вид: \[ \sin7x\sin x=\sin x\sin3x \] \[ \sin x(\sin7x-\sin3x)=0 \] Далее: \[ \sin7x-\sin3x=2\cos5x\sin2x \] Получаем: \[ \sin x\cdot2\cos5x\sin2x=0 \] 1) \[ \sin2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \] 2) \[ \cos5x=0\Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5} \] \[ \boxed{x=\frac{\pi k}{2};\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}} \]

№14

\[ \cos^3x+\sin^4x=1 \] Так как \(\sin^2x=1-\cos^2x\), пусть \(t=\cos x\): \[ t^3+(1-t^2)^2=1 \] \[ t^3+1-2t^2+t^4=1 \] \[ t^4+t^3-2t^2=0 \] \[ t^2(t^2+t-2)=0 \] \[ t^2(t-1)(t+2)=0 \] Значит: \[ t=0,\quad t=1,\quad t=-2 \] Корень \(\cos x=-2\) невозможен.

1. \[ \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k \]
2. \[ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi k \] \[ \boxed{x=2\pi k;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k} \]

№15

\[ \cos2x+\cos5x=-2 \] Так как \(\cos t\ge-1\), сумма двух косинусов равна \(-2\) только если одновременно: \[ \cos2x=-1,\qquad \cos5x=-1 \] Из первого: \[ 2x=\pi+2\pi k \] \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \] Но тогда: \[ 5x=\frac{5\pi}{2}+5\pi k \] и \[ \cos5x=0\ne-1 \] Значит, одновременное выполнение невозможно.

\[ \boxed{\text{решений нет}} \]

Итоговые ответы

\[ \begin{aligned} 1.&\ x=(-1)^k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3};\\ 2.&\ x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k;\\ 3.&\ x=\frac{5\pi}{12}+\pi k;\\ 4.&\ x=2\pi k,\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\\ 5.&\ x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ x=-\operatorname{arctg}\frac23+\pi k;\\ 6.&\ x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{2}+3\pi k;\\ 7.&\ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k;\\ 8.&\ x=-\operatorname{arctg}3+\pi k;\\ 9.&\ x=\pi k,\ x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\\ 10.&\ x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2};\\ 11.&\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\\ 12.&\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k;\\ 13.&\ x=\frac{\pi k}{2},\ x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5};\\ 14.&\ x=2\pi k,\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k;\\ 15.&\ \text{решений нет.} \end{aligned} \]

Везде \(k\in\mathbb Z\).