Реши задание на изображении

Ответ: 5

\[ \left(\frac25+\frac{4}{5x}\right):\frac{4+2x}{25x} \]

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac25+\frac{4}{5x} =\frac{2x}{5x}+\frac{4}{5x} =\frac{2x+4}{5x} \]

Теперь заменим деление умножением на обратную дробь:

\[ \frac{2x+4}{5x}\cdot\frac{25x}{4+2x} \]

Так как \(2x+4=4+2x\), эти выражения сокращаются:

\[ \frac{1}{5x}\cdot 25x=5 \]

\[ \boxed{5} \]

Условия существования выражения: \(x\neq 0\) и \(x\neq -2\).

Ответ: 8

Упростим выражение:

\[ x+5-\frac{1}{x+3}(x^2-9) \]

1. Разложим разность квадратов:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

2. Тогда дробь сокращается:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3 \]

3. Подставляем в исходное выражение:

\[ x+5-(x-3)=x+5-x+3=8 \]

\[ \boxed{8} \]

Значение не зависит от \(x\), поэтому в поле ответа нужно ввести 8. Условие при сокращении: \(x\neq -3\).

Ответ: 4

\[ \left(1+\frac{a}{4-a}\right)\cdot\frac{4-a}{5a+1} \]

1. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ 1+\frac{a}{4-a}=\frac{4-a}{4-a}+\frac{a}{4-a}=\frac{4-a+a}{4-a}=\frac{4}{4-a} \]

2. Умножаем на вторую дробь:

\[ \frac{4}{4-a}\cdot\frac{4-a}{5a+1}=\frac{4}{5a+1} \]

Получилась дробь \(\dfrac{4}{5a+1}\), значит её числитель — 4.

Условия: \(a\neq 4\) и \(a\neq -\dfrac15\) (иначе знаменатели обращаются в ноль).

Ответ: \(-4a-14\) (в поле ввода — без пробелов: -4a-14)

Упростим:

\[ \left(\frac{3a}{a^2-4}+\frac{7}{2-a}\right)\cdot\frac{a^2-4}{a+3} \]

1. Так как \(a^2-4=(a-2)(a+2)\), а \(2-a=-(a-2)\), то

\[ \frac{7}{2-a}=-\frac{7}{a-2}. \]

2. Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{3a}{(a-2)(a+2)}-\frac{7}{a-2} =\frac{3a-7(a+2)}{(a-2)(a+2)} =\frac{-4a-14}{a^2-4} \]

3. Умножаем:

\[ \frac{-4a-14}{a^2-4}\cdot\frac{a^2-4}{a+3} =\frac{-4a-14}{a+3} \]

Значит, числитель получившейся дроби:

\[ \boxed{-4a-14} \]

Условия существования: \(a\neq 2,\ a\neq -2,\ a\neq -3\).

Ответ: второй вариант — \(\;-\dfrac{81n}{8m}\)

Решение:

\[ \left(-\frac{3n}{m}\right)^4 : \left(-\frac{2n}{m}\right)^3 \]

1. Возводим каждую дробь в степень. Чётная степень убирает минус, нечётная его сохраняет:

\[ \left(-\frac{3n}{m}\right)^4=\frac{3^4n^4}{m^4}=\frac{81n^4}{m^4} \]

\[ \left(-\frac{2n}{m}\right)^3=-\frac{2^3n^3}{m^3}=-\frac{8n^3}{m^3} \]

2. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{81n^4}{m^4}\cdot\left(-\frac{m^3}{8n^3}\right) =-\frac{81n^4\cdot m^3}{8m^4\cdot n^3} \]

3. Сокращаем \(n^4\) и \(n^3\) на \(n^3\), а \(m^3\) и \(m^4\) на \(m^3\):

\[ -\frac{81n}{8m} \]

\[ \boxed{-\frac{81n}{8m}} \]

Условия: \(m\neq 0,\ n\neq 0\).

Ответ: \(\dfrac{7}{x-7}\) (то же самое: \(-\dfrac{7}{7-x}\))

Решение:

\[ \frac{7}{x}-\frac{49}{7x-x^2} \]

1. Разложим знаменатель второй дроби:

\[ 7x-x^2=x(7-x) \]

2. Приведём к общему знаменателю \(x(7-x)\):

\[ \frac{7}{x}=\frac{7(7-x)}{x(7-x)}=\frac{49-7x}{x(7-x)} \]

3. Вычитаем:

\[ \frac{49-7x-49}{x(7-x)}=\frac{-7x}{x(7-x)} \]

4. Сокращаем на \(x\):

\[ \frac{-7}{7-x}=\frac{7}{x-7} \]

\[ \boxed{\frac{7}{x-7}} \]

Условия: \(x\neq 0\) и \(x\neq 7\). В тесте выбирай вариант \(\frac{7}{x-7}\) или равный ему \(-\frac{7}{7-x}\).