Реши задание на изображении

На фото отмечены номера 437–440 — решаю их.

Краткие ответы

437.
а) \(10\,000\); б) \(1\,000\,000\); в) \(1\); г) \(1\); д) \(\frac57\); е) \(50\,000\,000\).

438.
а) \(x^6\); б) \(x^6\); в) \(a^{20}\); г) \(a^{18}\); д) \(y^{10}\); е) \(y^{14}\); ж) \(b^9\); з) \(b^{10}\).

439.
а) \(x^{24}\); б) \(x^{10}\); в) \(x^4\); г) \(x^4\); д) \(x^9\); е) \(x^{24}\).

440.
а) \(a^{10}\); б) \(a^7\); в) \(a^{12}\); г) \(a^7\); д) \(a^{10}\).

Пункт 440 е) на фото обрезан — его условия не видно.

Почему так

Нужны три свойства степеней:

1. \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
2. \((a^m)^n=a^{mn}\) — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
3. \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\) — можно объединить произведение в скобки.

437 — числовые степени

а) \(2^4\cdot5^4=(2\cdot5)^4=10^4=10\,000\)

б) \(4^3\cdot25^3=(4\cdot25)^3=100^3=1\,000\,000\)

в) \(0{,}25^{15}\cdot4^{15}=(0{,}25\cdot4)^{15}=1^{15}=1\)

г) \(1{,}5=\frac32\), поэтому
\[ \left(\frac23\right)^7\cdot\left(\frac32\right)^7 =\left(\frac23\cdot\frac32\right)^7=1^7=1 \]

д) \(1{,}4=\frac75\), тогда
\[ \left(\frac57\right)^{10}\cdot\left(\frac75\right)^9 =\left(\frac57\right)^9\left(\frac75\right)^9\cdot\frac57 =1^9\cdot\frac57=\frac57 \]

е) \(0{,}2^6\cdot50^7=(0{,}2\cdot50)^6\cdot50=10^6\cdot50=50\,000\,000\)

438 — степень в степени

Показатели перемножаются: \[ (x^3)^2=x^{3\cdot2}=x^6,\qquad (a^5)^4=a^{5\cdot4}=a^{20} \] Остальные пункты делаются так же.

439 и 440 — где складывать, а где умножать

Если степени умножаются, показатели складываем:
\[ x^2x^3x^4=x^{2+3+4}=x^9 \]

Если выражение стоит в скобках и возводится в степень, показатели перемножаем:
\[ ((x^2)^3)^4=x^{2\cdot3\cdot4}=x^{24} \]

Например, в 439: \[ \text{в) }x^2x^2=x^4,\qquad \text{г) }(x^2)^2=x^4 \] Ответ одинаковый, но правила применены разные.

В 440: \[ a^5a^2=a^7,\qquad (a^5)^2=a^{10} \]