объясни мне эту тему по математике

Коротко

Признак равенства треугольников — это правило, по которому достаточно проверить три элемента одного и другого треугольника, чтобы утверждать, что треугольники равны (то есть совпадают все их стороны и углы).

• Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.
• Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

«Угол между сторонами» — тот, который образован именно этими сторонами (обе стороны выходят из его вершины). «Прилежащие к стороне углы» — углы на концах этой стороны.

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.

Пример. Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OB\) и \(CO=OD\). Докажем, что \(\triangle AOC=\triangle BOD\).

1. \(AO=OB\) — по условию.
2. \(CO=OD\) — по условию.
3. \(\angle AOC=\angle BOD\) — вертикальные углы.

Угол \(AOC\) лежит между сторонами \(AO\) и \(CO\), значит, у треугольников равны две стороны и угол между ними. По первому признаку \(\triangle AOC=\triangle BOD\).

Отсюда сразу следует \(AC=BD\) и \(\angle OAC=\angle OBD\): в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого, то треугольники равны.

Пример. Точка \(O\) — пересечение \(AB\) и \(CD}\), \(AO=BO\) и \(\angle OAC=\angle OBD\). Докажем, что \(\triangle AOC=\triangle BOD\).

1. \(\angle AOC=\angle BOD\) — вертикальные.
2. \(\angle OAC=\angle OBD\) — по условию.
3. \(AO=BO\) — по условию.

В \(\triangle AOC\) сторона \(AO\) прилежит к углам \(A\) и \(O\); в \(\triangle BOD\) сторона \(BO\) прилежит к углам \(B\) и \(O\). Сторона и два прилежащих угла равны — треугольники равны по второму признаку.

Как оформлять доказательство

1. Запиши дано и что доказать.
2. Отмечай равные элементы на чертеже: стороны — штрихами, углы — дугами.
3. Перечисли три пары равных элементов, каждый раз указывая причину: «по условию», «общая сторона», «вертикальные углы».
4. Сделай вывод со ссылкой на признак.
5. В записи \(\triangle AOC=\triangle BOD\) соблюдай порядок вершин: \(A\leftrightarrow B,\ O\leftrightarrow O,\ C\leftrightarrow D\).

Частые ошибки

• берут угол, который не лежит между данными сторонами (для первого признака это не подходит);
• путают, какие углы прилежат к выбранной стороне (второй признак);
• используют элемент, который не дан и не доказан;
• нарушают порядок вершин в записи равенства.

Проверь себя

В треугольниках \(MNK\) и \(PKN\): \(MN=PK\), \(\angle MNK=\angle PKN\), сторона \(NK\) — общая. Равны ли треугольники?

Ответ: да, по первому признаку. В \(\triangle MNK\) угол \(MNK\) лежит между сторонами \(MN\) и \(NK\), а в \(\triangle PKN\) угол \(PKN\) — между \(PK\) и \(KN\). Значит, \(\triangle MNK=\triangle PKN\), и тогда \(MK=PN\).