Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[x_1 = 2,\quad x_2 = 3\]Ключевые шаги
Способ 1. Через дискриминант
Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1\]\(D > 0\), значит корней два:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2}\]- \(x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2\)
- \(x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3\)
Способ 2. По теореме Виета (быстрее, когда \(a = 1\))
Сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\):
\[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6\]Числа 2 и 3 дают сумму 5 и произведение 6 — это и есть корни.
Способ 3. Разложение на множители
Ищем два числа с суммой \(-5\) и произведением \(6\): это \(-2\) и \(-3\).
\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0\]Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x = 2\) или \(x = 3\).
Проверка
- \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓
- \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓
Принцип, который стоит запомнить
Квадратное уравнение решается приведением к произведению \((x - x_1)(x - x_2) = 0\): тогда корни видны сразу. Дискриминант — универсальный инструмент (работает при любых \(a\), \(b\), \(c\)), а Виет и разложение удобны, когда коэффициенты целые и корни «красивые». Сумма корней всегда равна \(-b/a\), произведение \(c/a\) — это готовый способ себя проверить.
