Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) среднее \(=1\), дисперсия \(D=\dfrac{14}{3}\approx4{,}67\);
б) среднее \(=5\), дисперсия \(D=3{,}5\).
Как это устроено
Сначала находим среднее арифметическое: \[ \bar x=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}. \] Потом для каждого числа считаем отклонение от среднего: \[ x_i-\bar x, \] возводим его в квадрат и находим среднее квадратов: \[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \] В школьном курсе дисперсию обычно считают именно так — делят на \(n\).
а) Числа \(-1,\ 0,\ 4\)
Среднее: \[ \bar x=\frac{-1+0+4}{3}=1. \]
| \(x_i\) | \(x_i-\bar x\) | \((x_i-\bar x)^2\) |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(-2\) | \(4\) |
| \(0\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(4\) | \(3\) | \(9\) |
Сумма квадратов отклонений: \[ 4+1+9=14. \] Значит, \[ D=\frac{14}{3}\approx4{,}67. \]
Проверка: сумма отклонений \[ -2+(-1)+3=0, \] так и должно быть.
б) Числа \(2,\ 6,\ 7,\ 5\)
Среднее: \[ \bar x=\frac{2+6+7+5}{4}=5. \]
| \(x_i\) | \(x_i-\bar x\) | \((x_i-\bar x)^2\) |
|---|---|---|
| \(2\) | \(-3\) | \(9\) |
| \(6\) | \(1\) | \(1\) |
| \(7\) | \(2\) | \(4\) |
| \(5\) | \(0\) | \(0\) |
Сумма квадратов: \[ 9+1+4+0=14. \] Тогда \[ D=\frac{14}{4}=3{,}5. \]
Проверка: сумма отклонений \[ -3+1+2+0=0. \]
Итог:
\[
\boxed{D_a=\frac{14}{3}\approx4{,}67,\qquad D_b=3{,}5.}
\]
Смысл дисперсии: она показывает, насколько числа в наборе в среднем «разбросаны» около своего среднего. Чем больше дисперсия, тем сильнее различаются числа.
