Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. в) \(x=0;\ -0{,}9\);
   а) \(x=2;\ \pm\dfrac14\);
   б) \(x=\pm1\).

2. а) \(x=-2;\ 1;\ \dfrac{-1\pm\sqrt{13}}2\);
   б) \(x=-4;\ 3\).

3. а) \(x=\pm2\);
   б) \(x=\pm\sqrt3\);
   в) \(x=0\);
   г) действительных корней нет.

4. \(x=-2;\ 1;\ 2\) — для уравнения
   \[ x^5-x^4-3x^3+3x^2-4x+4=0. \] Если в твоём варианте все знаки «минус», это, скорее всего, опечатка: проверь знаки в №4.

5. \(x=-6;\ 1;\ 5\).

Как это получается

1.

• в) \(x^2+0{,}9x=x(x+0{,}9)=0\). Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
• а) группировка: \[ 16x^3-32x^2-x+2=16x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(16x^2-1). \] Далее \(16x^2-1=(4x-1)(4x+1)\), поэтому \(x=2;\ \pm\frac14\).
• б) группировка: \[ x^6-x^4+5x^2-5=(x^2-1)(x^4+5). \] \(x^4+5>0\) при любом действительном \(x\), значит \(x^2-1=0\), откуда \(x=\pm1\).

2. Здесь нужна замена переменной.

• а) Пусть \(t=x^2+x\). Тогда \[ t^2-5t+6=0,\quad t=2;\ 3. \] Решаем \(x^2+x=2\) и \(x^2+x=3\). Получаем \(x=-2;1;\frac{-1\pm\sqrt{13}}2\).
• б) Пусть \(t=x^2+x\): \[ (t+6)(t-4)=144,\quad t^2+2t-168=0. \] Отсюда \(t=12\) или \(t=-14\).
  \(x^2+x=12\) даёт \(x=3;-4\).
  \(x^2+x=-14\) корней не имеет, так как дискриминант отрицательный.

3. Биквадратное уравнение решается заменой \(t=x^2\), причём \(t\ge0\).

• а) \(t^2-t-12=0\), \(t=4\) или \(t=-3\). Подходит только \(t=4\), значит \(x=\pm2\).
• б) \(t^2+6t-27=0\), \(t=3\) или \(t=-9\). Подходит \(t=3\), значит \(x=\pm\sqrt3\).
• в) \(x^4+25x^2=x^2(x^2+25)=0\). Так как \(x^2+25>0\), получаем \(x=0\).
• г) \(t^2+15t+54=0\), откуда \(t=-6\) или \(t=-9\). Оба значения отрицательны, поэтому действительных корней нет.

4. Группировка: \[ x^5-x^4-3x^3+3x^2-4x+4 =(x-1)(x^4-3x^2-4). \] Далее: \[ x^4-3x^2-4=(x^2-4)(x^2+1). \] Поэтому \[ (x-1)(x-2)(x+2)(x^2+1)=0. \] \(x^2+1\neq0\), значит \(x=1;\pm2\).

5. Подбираем целый корень среди делителей свободного члена \(30\). Подходит \(x=1\), так как \(1-31+30=0\). Делим: \[ x^3-31x+30=(x-1)(x^2+x-30). \] Разложим квадратный трёхчлен: \[ x^2+x-30=(x+6)(x-5). \] Значит \(x=1;\ -6;\ 5\). Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт \(0\).