2.192
Краткий ответ
2.192. Сравните дроби:
а) \(\dfrac{2}{3} > \dfrac{8}{21}\)
б) \(\dfrac{4}{15} < \dfrac{2}{5}\)
в) \(\dfrac{3}{8} < \dfrac{17}{40}\)
г) \(\dfrac{5}{6} < \dfrac{31}{36}\)
д) \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{4}{21}\)
е) \(\dfrac{13}{18} < \dfrac{11}{15}\)
ж) \(\dfrac{17}{125} < \dfrac{23}{165}\)
з) \(\dfrac{19}{77} > \dfrac{43}{176}\)
Как это делать
Чтобы сравнить две дроби, можно:
- Привести к общему знаменателю — больше та дробь, у которой числитель больше.
- Сравнить крест-накрест:
\[ \frac{a}{b} \lessgtr \frac{c}{d} \iff a\cdot d \lessgtr b\cdot c . \]
Разберём разные случаи.
а) Общий знаменатель \(21\): \[ \frac{2}{3}=\frac{14}{21},\qquad \frac{14}{21}>\frac{8}{21}. \]
б) \(\frac{2}{5}=\frac{6}{15}\), поэтому \[ \frac{4}{15}<\frac{6}{15}. \]
е) Общий знаменатель \(90\): \[ \frac{13}{18}=\frac{65}{90},\qquad \frac{11}{15}=\frac{66}{90}, \] значит \(\frac{13}{18}<\frac{11}{15}\).
ж) Крест-накрест: \[ 17\cdot 165=2805,\qquad 23\cdot 125=2875. \] Так как \(2805<2875\), то \(\frac{17}{125}<\frac{23}{165}\).
з) Крест-накрест: \[ 19\cdot 176=3344,\qquad 43\cdot 77=3311. \] Так как \(3344>3311\), то \(\frac{19}{77}>\frac{43}{176}\).
Остальные пункты — аналогично:
- в) \(\frac{3}{8}=\frac{15}{40}<\frac{17}{40}\);
- г) \(\frac{5}{6}=\frac{30}{36}<\frac{31}{36}\);
- д) \(\frac{1}{6}=\frac{7}{42}\), \(\frac{4}{21}=\frac{8}{42}\), поэтому \(\frac{1}{6}<\frac{4}{21}\).
Проверка
Можно перевести дроби в десятичные:
\[ \frac{2}{3}\approx0{,}667>0{,}381,\quad \frac{4}{15}\approx0{,}267<0{,}4, \] \[ \frac{13}{18}\approx0{,}722<0{,}733,\quad \frac{17}{125}=0{,}136<0{,}139, \] \[ \frac{19}{77}\approx0{,}247>0{,}244. \]
Все результаты совпадают.
Обсуждение
2 сообщенияСделай раскрыто
Подробно каждый пункт — с приведением к общему знаменателю.
Правило: если знаменатели одинаковые, то больше та дробь, у которой больше числитель.
а) \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{8}{21}\)
Общий знаменатель \(21\): \[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}. \] Сравниваем: \[ \frac{14}{21}>\frac{8}{21}, \] значит \[ \boxed{\frac{2}{3}>\frac{8}{21}}. \]
б) \(\dfrac{4}{15}\) и \(\dfrac{2}{5}\)
Общий знаменатель \(15\): \[ \frac{2}{5}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{6}{15}. \] Тогда \[ \frac{4}{15}<\frac{6}{15}, \] значит \[ \boxed{\frac{4}{15}<\frac{2}{5}}. \]
в) \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{17}{40}\)
Общий знаменатель \(40\): \[ \frac{3}{8}=\frac{3\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{15}{40}. \] Сравниваем: \[ \frac{15}{40}<\frac{17}{40}, \] поэтому \[ \boxed{\frac{3}{8}<\frac{17}{40}}. \]
г) \(\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{31}{36}\)
Общий знаменатель \(36\): \[ \frac{5}{6}=\frac{5\cdot 6}{6\cdot 6}=\frac{30}{36}. \] Сравниваем: \[ \frac{30}{36}<\frac{31}{36}, \] значит \[ \boxed{\frac{5}{6}<\frac{31}{36}}. \]
д) \(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{4}{21}\)
Общий знаменатель \(42\): \[ \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 7}{6\cdot 7}=\frac{7}{42}, \qquad \frac{4}{21}=\frac{4\cdot 2}{21\cdot 2}=\frac{8}{42}. \] Так как \[ \frac{7}{42}<\frac{8}{42}, \] то \[ \boxed{\frac{1}{6}<\frac{4}{21}}. \]
е) \(\dfrac{13}{18}\) и \(\dfrac{11}{15}\)
Общий знаменатель \(90\): \[ \frac{13}{18}=\frac{13\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{65}{90}, \qquad \frac{11}{15}=\frac{11\cdot 6}{15\cdot 6}=\frac{66}{90}. \] Сравниваем: \[ \frac{65}{90}<\frac{66}{90}, \] значит \[ \boxed{\frac{13}{18}<\frac{11}{15}}. \]
ж) \(\dfrac{17}{125}\) и \(\dfrac{23}{165}\)
Общий знаменатель: \[ 125\cdot 33=4125 \] (так как \(165=5\cdot 33\), \(125=5\cdot 25\)).
Приводим дроби: \[ \frac{17}{125}=\frac{17\cdot 33}{125\cdot 33}=\frac{561}{4125}, \] \[ \frac{23}{165}=\frac{23\cdot 25}{165\cdot 25}=\frac{575}{4125}. \] Так как \[ 561<575, \] то \[ \boxed{\frac{17}{125}<\frac{23}{165}}. \]
з) \(\dfrac{19}{77}\) и \(\dfrac{43}{176}\)
Общий знаменатель: \[ 77\cdot 16=1232. \] Приводим дроби: \[ \frac{19}{77}=\frac{19\cdot 16}{77\cdot 16}=\frac{304}{1232}, \] \[ \frac{43}{176}=\frac{43\cdot 7}{176\cdot 7}=\frac{301}{1232}. \] Так как \[ 304>301, \] то \[ \boxed{\frac{19}{77}>\frac{43}{176}}. \]
Итог
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{а) }\frac{2}{3}>\frac{8}{21};\\ &\text{б) }\frac{4}{15}<\frac{2}{5};\\ &\text{в) }\frac{3}{8}<\frac{17}{40};\\ &\text{г) }\frac{5}{6}<\frac{31}{36};\\ &\text{д) }\frac{1}{6}<\frac{4}{21};\\ &\text{е) }\frac{13}{18}<\frac{11}{15};\\ &\text{ж) }\frac{17}{125}<\frac{23}{165};\\ &\text{з) }\frac{19}{77}>\frac{43}{176}. \end{aligned} } \]
