Реши задание на изображении
Краткие ответы
Независимые события — события, при которых наступление одного не меняет вероятность наступления другого.
Пример: результат броска монеты и то, будет ли завтра дождь (в обычной модели эти события не влияют друг на друга).A — 2; B — 3; C — 1.
В таблицу под номерами \(1,2,3\): C, A, B.Таблица:
| Событие 1 | Событие 2 | Вывод |
|---|---|---|
| Вытягивание карты из колоды | Вытягивание второй карты без возврата первой | зависимые |
| Подбрасывание кубика | Подбрасывание монеты | независимые |
| Дождь на улице | Открытие зонта | зависимые |
| Покупка лотерейного билета | Выигрыш в лотерею | зависимые |
Верные утверждения: 1, 2, 4.
\[ P=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}\approx 0{,}390625 \] Ответ: \(\boxed{\frac{25}{64}}\).
\[ P=\frac13 \] Если бы спрашивали вероятность «до начала партий», было бы \(\frac13\cdot\frac13=\frac19\), но здесь уже известно, что первую партию Петя выиграл.
Разбор принципа
Независимость. Для независимых событий \(A\) и \(B\):
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B), \] \[ P(A\mid B)=P(A),\qquad P(B\mid A)=P(B). \]
Поэтому в № 4 верны пункты 1, 2 и 4.
Пункт 3 — формула для несовместных событий; для независимых в общем случае она неверна.
Пункт 5 неверен: если \(P(A)=0\), то
\[
P(A\cap B)=0=P(A)P(B),
\]
значит события независимы, а не зависимы.
№ 3. Если после первого события вероятность второго меняется, события зависимые.
- Карту не возвращают — состав колоды меняется, поэтому события зависимые.
- Кубик и монета друг на друга не влияют — независимые.
- Дождь повышает вероятность, что человек откроет зонт, — зависимые.
- Покупка билета меняет шанс выигрыша: без билета шанс нулевой, — зависимые.
№ 5. Шар возвращают обратно, значит перед вторым выниманием в коробке снова 5 красных и 3 синих, всего 8 шаров. Поэтому вероятность красного при каждом вынимании равна \(\frac58\), а события независимы. Умножаем:
\[ \frac58\cdot\frac58=\frac{25}{64}. \]
№ 6. В модели задачи у каждого из трёх друзей равные шансы выиграть партию, поэтому для Пети вероятность выиграть одну партию равна \(\frac13\).
Пусть \(A\) — «Петя выиграл первую партию», \(B\) — «Петя выиграл обе». Тогда
\[ P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =\frac{\frac19}{\frac13} =\frac13. \]
То есть после того как первая партия уже выиграна, нужно учесть только вероятность выиграть вторую.
