Реши задание на изображении
На фото видно только две функции, без формулировки задания. Ниже — полный разбор для стандартного задания 9 класса: построить графики, найти вершину, ось симметрии, нули и область значений.
Кратко
- \(y=3(x-4)^2\)
- вершина: \((4;0)\);
- ось симметрии: \(x=4\);
- ветви направлены вверх, парабола уже стандартной;
- нуль: \(x=4\) — график касается оси \(Ox\);
- область значений: \([0;+\infty)\);
- минимум \(y=0\) при \(x=4\).
- \(y=\dfrac12x^2+2\)
- вершина: \((0;2)\);
- ось симметрии: \(x=0\), то есть ось \(Oy\);
- ветви направлены вверх, парабола шире стандартной;
- действительных нулей нет;
- область значений: \([2;+\infty)\);
- минимум \(y=2\) при \(x=0\).
Как это получается
Удобно использовать вид
\[ y=a(x-m)^2+n. \]
Вершина такой параболы имеет координаты \((m;n)\). Если \(a>0\), ветви идут вверх; если \(|a|>1\), парабола уже обычной, если \(|a|<1\) — шире.
1) \(y=3(x-4)^2\)
Здесь
\[ a=3,\quad m=4,\quad n=0. \]
Поэтому график \(y=x^2\):
- сдвинут вправо на \(4\);
- растянут по вертикали в \(3\) раза.
Вершина:
\[ (4;0). \]
Нуль функции:
\[ 3(x-4)^2=0 \Rightarrow x=4. \]
Точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ x=0:\quad y=3(0-4)^2=48, \]
то есть \((0;48)\).
Несколько точек для графика:
| \(x\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 |
2) \(y=\dfrac12x^2+2\)
Это график \(y=x^2\), у которого все ординаты уменьшены в \(2\) раза, а затем график поднят на \(2\) единицы вверх.
Вершина:
\[ (0;2). \]
Нули ищем так:
\[ \frac12x^2+2=0 \]
\[ \frac12x^2=-2 \]
\[ x^2=-4. \]
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет: парабола не пересекает ось \(Ox\).
Точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ x=0:\quad y=2. \]
Несколько точек:
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 10 | 4 | 2 | 4 | 10 |
Проверка
Для первой функции подставляем \(x=4\):
\[ 3(4-4)^2=0. \]
Вершина действительно \((4;0)\).
Для второй функции \(x^2\ge 0\), поэтому
\[ \frac12x^2+2\ge 2. \]
То есть наименьшее значение действительно \(2\), а область значений — \([2;+\infty)\).
Чтобы построить похожий график, достаточно найти вершину, ось симметрии и \(2\)–\(3\) пары симметричных точек, затем провести плавную параболу.
