Реши задание на изображении
На фото три номера — 150, 151 и 152. Ниже краткие ответы, затем общий принцип решения.
Краткий ответ
№ 150
а) \(y=x^2-4x+7\)
\[ x_B=-\frac{-4}{2}=2,\qquad y_B=2^2-4\cdot2+7=3. \]
Вершина: \((2;3)\), ось симметрии \(x=2\), ветви вверх.
Для схемы можно взять точки \((0;7)\), \((4;7)\), \((1;4)\), \((3;4)\).
б) \(y=-2x^2-5x-2\)
\[ x_B=-\frac{-5}{2(-2)}=-\frac54,\qquad y_B=-2\left(\frac{25}{16}\right)-5\left(-\frac54\right)-2=\frac98. \]
Вершина: \(\left(-\frac54;\frac98\right)=(-1{,}25;1{,}125)\), ось \(x=-\frac54\), ветви вниз.
Корни: \(x=-2\) и \(x=-\frac12\), то есть точки \((-2;0)\), \((-0{,}5;0)\); ещё \(y(0)=-2\).
№ 151
\[ y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9. \]
Вершина \((1;9)\), ветви вниз, нули \(x=-2\) и \(x=4\).
а)
\[
y(2{,}5)=6{,}75,\qquad y(-0{,}5)=6{,}75,\qquad y(-3)=-7.
\]
б)
\[
y=6:\ x=1\pm\sqrt3\approx -0{,}73;\ 2{,}73;
\]
\[
y=0:\ x=-2;\ 4;
\]
\[
y=-2:\ x=1\pm\sqrt{11}\approx -2{,}32;\ 4{,}32.
\]
в) Нули: \(x=-2\), \(x=4\).
\[
y>0 \text{ при } x\in(-2;4),
\]
\[
y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty).
\]
г)
\[
\text{возрастает на }(-\infty;1],\qquad
\text{убывает на }[1;+\infty).
\]
Множество значений:
\[
(-\infty;9].
\]
Для графика отметьте вершину \((1;9)\), нули \((-2;0)\), \((4;0)\), точки \((0;8)\), \((2;8)\) и проведите ветви вниз.
№ 152
\[ y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6. \]
Вершина \((-2;-6)\), ветви вверх.
а)
\[
y(-2{,}3)=-5{,}82,\qquad
y(-0{,}5)=-1{,}5,\qquad
y(1{,}2)=14{,}48.
\]
б)
\[
y=-4:\ x=-3;\ -1.
\]
\[
y=-1:\ x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2\approx -3{,}58;\ -0{,}42.
\]
\[
y=1{,}7:\ x=-2\pm\sqrt{3{,}85}\approx -3{,}96;\ -0{,}04.
\]
в) Нули: \[ x=-2\pm\sqrt3\approx -3{,}73;\ -0{,}27. \] \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+\infty), \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-2-\sqrt3;-2+\sqrt3). \]
г)
\[
\text{убывает на }(-\infty;-2],\qquad
\text{возрастает на }[-2;+\infty).
\]
Наименьшее значение функции:
\[
y_{\min}=-6.
\]
Для графика отметьте вершину \((-2;-6)\), нули около \(-3{,}73\) и \(-0{,}27\), точку \((0;2)\) и симметричную \((-4;2)\); ветви вверх.
Как это получается
Любую квадратичную функцию можно записать так:
\[ y=ax^2+bx+c =a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. \]
Поэтому вершина имеет координаты
\[ x_B=-\frac{b}{2a},\qquad y_B=y(x_B). \]
Ось симметрии — вертикальная прямая \(x=x_B\). Если \(a>0\), ветви направлены вверх и в вершине минимум; если \(a<0\), ветви вниз и в вершине максимум.
Дальше:
- чтобы найти нули, решаем \(y=0\);
- чтобы найти \(x\) при заданном \(y=k\), решаем \(ax^2+bx+c=k\) — это пересечение параболы с горизонтальной прямой \(y=k\);
- знаки функции меняются в нулях;
- промежутки возрастания и убывания разделяются вершиной параболы.
Проверка: в № 151 коэффициент \(a=-1<0\), поэтому \(y\le 9\), а значения при \(x=2{,}5\) и \(x=-0{,}5\) одинаковы из-за симметрии относительно \(x=1\). В № 152 \(a=2>0\), поэтому наименьшее значение действительно \(-6\).
