Реши задание на изображении
Все ответы — для \(x\in\mathbb R\), \(n\in\mathbb Z\); углы в радианах.
\(\sin 4x=\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\[ 4x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad\text{или}\quad 4x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \] поэтому
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.} \]\(\cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)
\[ \frac{x}{2}=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n, \] значит
\[ \boxed{x=\pm\frac{3\pi}{2}+4\pi n.} \]\(\operatorname{ctg}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac1{\sqrt3}\)
Так как \(\operatorname{tg}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\), то \[ x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi n, \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi n.} \]\(2\cos^2x+\cos x-1=0\)
Замена \(t=\cos x\): \(2t^2+t-1=0\), корни \(t=\frac12\), \(t=-1\).
\[ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n.} \]\(4\operatorname{tg}x-3\operatorname{ctg}x=1\)
Пусть \(t=\operatorname{tg}x\), тогда \(\operatorname{ctg}x=\frac1t\): \[ 4t-\frac3t=1 \Rightarrow 4t^2-t-3=0. \] Корни \(t=1\), \(t=-\frac34\).
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\pi n\quad\text{или}\quad x=-\operatorname{arctg}\frac34+\pi n.} \]\(\cos\dfrac{2x}{5}-5\sin\dfrac{x}{5}+2=0\)
Пусть \(u=\sin\frac{x}{5}\), тогда \(\cos\frac{2x}{5}=1-2u^2\): \[ 1-2u^2-5u+2=0 \Rightarrow 2u^2+5u-3=0. \] Корни \(u=\frac12\) и \(u=-3\); второй невозможен.
\[ \sin\frac{x}{5}=\frac12, \] \[ \boxed{x=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+5\pi n.} \]\(\cos2x+4\sqrt2\cos x+4=0\)
\(\cos2x=2\cos^2x-1\), \(t=\cos x\): \[ 2t^2+4\sqrt2t+3=0. \] Подходит только \(t=-\frac{\sqrt2}{2}\).
\[ \boxed{x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n.} \]\(5\cos x+2\sin x=0\)
Делим на \(\cos x\ne0\): \[ 5+2\operatorname{tg}x=0, \] \[ \boxed{x=-\operatorname{arctg}\frac52+\pi n.} \]\(\sin2x-\sin x=0\)
\[ 2\sin x\cos x-\sin x=0, \] \[ \sin x(2\cos x-1)=0. \] \[ \boxed{x=\pi n\quad\text{или}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.} \]\(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x=\sin5x\)
Левая часть равна \(\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\). Тогда \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin5x. \] Два случая: \[ x+\frac{\pi}{6}=5x+2\pi n \quad\text{или}\quad x+\frac{\pi}{6}=\pi-5x+2\pi n. \] \[ \boxed{x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}.} \]\((2\sin x-\sqrt3)\sqrt{-\cos x}=0\)
ОДЗ: \(-\cos x\ge0\), то есть \(\cos x\le0\).Если \(2\sin x-\sqrt3=0\), то \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\). С учётом \(\cos x\le0\) остаётся
\[ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n. \] Если \(\sqrt{-\cos x}=0\), то \(\cos x=0\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. \] \[ \boxed{x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.} \]\(\dfrac{2\cos x-\sqrt2}{2\sin x-\sqrt2}=0\)
Числитель равен нулю: \[ 2\cos x-\sqrt2=0 \Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt2}{2}. \] Это \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\). Но при \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\) знаменатель тоже равен нулю, поэтому этот корень исключается.
\[ \boxed{x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n.} \]\(\cos^2x-\cos^22x-\cos^23x+\cos^24x=0\)
Можно свернуть: \[ \cos^2x-\cos^23x+\cos^24x-\cos^22x =-2\sin x\sin2x\cos5x. \] Тогда \[ \sin2x=0 \quad\text{или}\quad \cos5x=0. \] \[ \boxed{x=\frac{\pi n}{2}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.} \]\(\sin^4x-\cos^3x=1\)
Пусть \(c=\cos x\), тогда \(\sin^4x=(1-c^2)^2\): \[ (1-c^2)^2-c^3=1. \] После раскрытия: \[ c^2(c-2)(c+1)=0. \] Подходят \(c=0\) и \(c=-1\).
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\pi+2\pi n.} \]\(\sin3x+\sin4x=2\)
Каждый синус не больше \(1\), поэтому сумма равна \(2\) только если одновременно \[ \sin3x=1,\qquad \sin4x=1. \] Тогда \[ 3x=\frac{\pi}{2}+2\pi m,\qquad 4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. \] Получаем \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi m}{3} =\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. \] После умножения на \(\frac{24}{\pi}\): \[ 4+16m=3+12n \Rightarrow 16m+1=12n, \] что невозможно: слева число не делится на \(4\), справа делится.
\[ \boxed{\text{решений нет.}} \]
Главные идеи: в 1–3 работают базовые формулы, в 4–9 — замена переменной, в 10 — вспомогательный угол, в 11–12 обязательно проверяем ОДЗ, в 13 — разность квадратов/понижение степени, в 14 — замена \(\cos x\), в 15 — оценка синуса.
