944 и 950

944

Краткий ответ. Удобно нарисовать \(\vec x,\vec y,\vec z\) из одной точки \(O\). Пусть
\(\vec x=\overrightarrow{OX},\quad \vec y=\overrightarrow{OY},\quad \vec z=\overrightarrow{OZ}\).

Тогда:

\[ \vec x-\vec y=\overrightarrow{YX},\qquad \vec z-\vec y=\overrightarrow{YZ},\qquad \vec x-\vec z=\overrightarrow{ZX}. \]

То есть разность двух векторов с общим началом идёт из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого.

Противоположные векторы:

\[ -\vec x=\overrightarrow{XO},\qquad -\vec y=\overrightarrow{YO},\qquad -\vec z=\overrightarrow{ZO}. \]

Почему так. Например,

\[ \vec y+(\vec x-\vec y)=\vec x. \]

Вектор \(\vec x-\vec y\) как раз «дополняет» \(\vec y\) до \(\vec x\), поэтому идёт от конца \(\vec y\) к концу \(\vec x\).

950

Сторона равностороннего треугольника равна \(a\), значит все его стороны имеют длину \(a\), а углы — по \(60^\circ\).

Ответ:

\[ \text{а) }a;\qquad \text{б) }a\sqrt3;\qquad \text{в) }a\sqrt3;\qquad \text{г) }a;\qquad \text{д) }a. \]

Пояснения:

а)
\[ \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}, \] поэтому \[ |\vec{AB}+\vec{BC}|=|\vec{AC}|=a. \]

б) Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) выходят из одной вершины и образуют угол \(60^\circ\). По теореме косинусов для суммы: \[ |\vec{AB}+\vec{AC}|^2 =a^2+a^2+2a^2\cos60^\circ =3a^2, \] значит \[ |\vec{AB}+\vec{AC}|=a\sqrt3. \]

в) Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\) имеют длины \(a\), а угол между ними тоже \(60^\circ\), поэтому \[ |\vec{AB}+\vec{CB}|=a\sqrt3. \]

г)
\[ \vec{BA}-\vec{BC}=\vec{CA}, \] поэтому \[ |\vec{BA}-\vec{BC}|=|\vec{CA}|=a. \]

д)
\[ \vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}, \] поэтому \[ |\vec{AB}-\vec{AC}|=|\vec{CB}|=a. \]

Общий приём для похожих задач: сумму удобно заменять по правилу треугольника, а разность — вектором из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Для двух векторов длины \(a\) с углом \(60^\circ\): \[ |\vec u+\vec v|=a\sqrt3,\qquad |\vec u-\vec v|=a. \]